CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 6 лет.

PV = €5 0004% / 12n = 6

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 8? Найдите остаток долга B.

P = €150 0005,4% / 12N = 240k = 96

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня, служит 10 лет, а его эксплуатация обходится в €3 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 6 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €30 000M = €3 000n = 10r = 6%

EAC = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €33 500, €26 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 26 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 7% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 7%n = 11

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 090 при доходности к погашению 6% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 7,4 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 50 базисных пунктов.

P₀ = €1 090y = 6%D = 7,4Δy = −50 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €10 000 000, стоимость собственного капитала — 9%. Её долг состоит из 8 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 4%, 4 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €947. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €10 000 000r_e = 9%облигации: 8 000 × €947купон = 4%n = 4T = 25,8%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 37, 33, 26, 32, 54, 38, 28.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 40,4?

μ = 50σ = 12x = 40,4

P =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 2 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 2

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 11p = 0,4k = 3

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6265. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6265

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 57 и стандартное отклонение s = 2,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 57s = 2,590%t(29) = 1,699

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 5 участков, средний урожай 95 kg, стандартное отклонение 7 kg. Группа участков 2: 11 участков, среднее 84,5 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 95s₁ = 7n₂ = 11x̄₂ = 84,5s₂ = 3,590%t(14) = 1,761

нижняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 214,5 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 214,5s = 20n = 16

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 122,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 122,5σ = 20n = 6490%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 22?

n = 5ŷ = 22

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 6354 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·6 = 72

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,003333)⁷² = 5 000·1,271 = €6 353,71

Ответ

FV = €6 353,71

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 108284 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0045, N = 240

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €1 023,38

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 240 − 96 = 144

B = 1023·(1 − (1 + 0,0045)⁻¹⁴⁴)/0,0045 = €108 284,28

Ответ

B = €108 284,28

3.NPV и IRR

Ответ: EAC = 7076 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,06⁻¹⁰)/0,06 = 7,36

Цена покупки в пересчёте на год

30 000/7,36 = 4 076,04

EAC

EAC = 4 076,04 + 3 000 = €7 076,04

Ответ

EAC = €7 076,04

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 13,01 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 1 942,15

NPV(15%) = −1 209,83

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·1 942,15/(1 942,15 − (−1 209,83)) = 13,08%

точно: NPV(13,01%) = 0 → IRR = 13,01%

Ответ

IRR = 13,01%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 848,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €25,00, i = 0,035, N = 22

Приведённая стоимость купонов

€25,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €379,18

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,4692 = €469,15

Цена

P = €848,33

Ответ

P = €848,33

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1128 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 7,4/1,06 = 6,981

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −6,981·(−0,005) = 3,491%

P ≈ 1090·(1 + 0,03491) = €1 128,05

Ответ

P = €1 128,05

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 9,2 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,2) = 9,2%

Ответ

WACC = 9,2%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,884 %

Стоимость долга (YTM)

947 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 5,512%

Рыночные стоимости

D = 8 000·€947 = €7 576 000

V = €17 576 000, E/V = 0,569, D/V = 0,431

WACC

WACC = 0,569·9% + 0,431·5,512%·(1 − 0,258) = 6,884%

Ответ

WACC = 6,884%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 9,271

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 248/7 = 35,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,571² + (−2,429)² + (−9,429)² + (−3,429)² + 18,57² + 2,571² + (−7,429)² = 515,7

Стандартное отклонение

s = √(515,7/6) = 9,271

Ответ

s = 9,271

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

11.Вероятность

Ответ: P = 0,3056

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Ответ

P = 0,3056

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1774

Формула Бернулли

P(X = 3) = 165·0,4³·0,6⁸ = 165·0,064·0,0168 = 0,1774

Ответ

P = 0,1774

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,89

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6265)/2 = 0,8133

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8133 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,89

Ответ

z = 0,89

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 172,1 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm

Ответ

x = 172,1 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 57,78

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Предельная ошибка

E = 1,699·2,5/√30 = 0,7755

Интервал

57 ± 0,7755 → [56,22, 57,78]

Ответ

верхняя граница = 57,78

16.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 5,97 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (4·7² + 10·3,5²)/14 = 22,75

s_p = 4,77

Предельная ошибка

E = 1,761·4,77·√(1/5 + 1/11) = 4,53

Интервал

10,5 ± 4,53 → [5,97, 15,03]

Ответ

нижняя граница = 5,97 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерия

t = (214,5 − 200)/5 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 126,6

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√64 = 4,112

Граница интервала

U = 122,5 + 4,112 = 126,6

Ответ

U = 126,6

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9938

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 272/5 = 54,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 933,2

Коэффициент корреляции

r = 192/√(40·933,2) = 0,9938

Ответ

r = 0,9938

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,95

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 131/5 = 26,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Линия регрессии

b = 160/40 = 4

a = 26,2 − 4·6 = 2,2

ŷ = 2,2 + 4·x

Найдите x

x = (22 − 2,2)/4 = 4,95

Ответ

x = 4,95

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income