CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €12 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €12 0004% / 4n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 5 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1004,2% / 12N = 60

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €250 000 сегодня. Он приносит €17 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 2 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €17 000g = 2%r = 8%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €4 500, €5 500, €5 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 8 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 8%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 000

MIRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4,5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 2,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 2,5%n = 5

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 7% двумя полугодовыми платежами и погашается через 8 лет. Она продаётся за €1 242. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 7% (2×)n = 8P = €1 242

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €12 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость привилегированного капитала — 6%, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €6 000 000r_e = 9%r_p = 6%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €10 000 000, стоимость собственного капитала — 14%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 4%, 5 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €978. Ставка налога — 25,8%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €10 000 000r_e = 14%облигации: 5 000 × €978купон = 4%n = 5T = 25,8%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 60, 58, 25, 40.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 154?

μ = 170σ = 8x = 154

P =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 7 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 7

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,7620. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,7620

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов90%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 102,5 и стандартное отклонение s = 5,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 102,5s = 5,590%t(19) = 1,729

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p = 0,5E = 0,0390%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 119 mm, известное стандартное отклонение линии 13 mm. Линия 2: выборка из 60 деталей имеет среднее 117,1 mm, известное стандартное отклонение 4 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 119 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 60x̄₂ = 117,1 mmσ₂ = 4 mm

z =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 2,590%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 44?

n = 5ŷ = 44

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 12994 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·2 = 8

Будущая стоимость

FV = 12 000·(1 + 0,01)⁸ = 12 000·1,083 = €12 994,28

Ответ

FV = €12 994,28

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 6664 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·5 = 60

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,233 − 1)/0,0035 = €6 663,59

Ответ

FV = €6 663,59

Сами вы внесли €6 000; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 33333 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 17 000/(0,08 − 0,02) = 283 333,33

NPV

NPV = 283 333,33 − 250 000 = €33 333,33

Ответ

NPV = €33 333,33

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 17,42 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

4 500·1,08² = 5 248,80

5 500·1,08¹ = 5 940,00

5 000·1,08⁰ = 5 000,00

TV = 16 188,80

MIRR

MIRR = (16 188,80/10 000)^1/3 − 1 = 17,42%

Ответ

MIRR = 17,42%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1093 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €22,50, i = 0,0125, N = 10

Приведённая стоимость купонов

€22,50·(1 − 0,8832)/0,0125 = €210,27

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8832 = €883,18

Цена

P = €1 093,46

Ответ

P = €1 093,46

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,505 %

За период

C = €35,00, N = 16

Численное решение

i = 1,752% за полгода

YTM

YTM = 2·1,752% = 3,505%

Ответ

YTM = 3,505%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,908 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 12 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €18 500 000

E/V = 0,6486, P_s/V = 0,02703, D/V = 0,3243

WACC

WACC = 0,6486·9% + 0,02703·6% + 0,3243·4%·(1 − 0,3) = 6,908%

Ответ

WACC = 6,908%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,5 %

Стоимость долга (YTM)

978 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 4,501%

Рыночные стоимости

D = 5 000·€978 = €4 890 000

V = €14 890 000, E/V = 0,6716, D/V = 0,3284

WACC

WACC = 0,6716·14% + 0,3284·4,501%·(1 − 0,258) = 10,5%

Ответ

WACC = 10,5%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,94

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 219/5 = 43,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−7,8)² + 16,2² + 14,2² + (−18,8)² + (−3,8)² = 892,8

Стандартное отклонение

s = √(892,8/4) = 14,94

Ответ

s = 14,94

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

11.Вероятность

Ответ: P = 0,7209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Ответ

P = 0,7209

12.Вероятность

Ответ: P = 0,4362

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Сложите

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Ответ

P = 0,4362

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,18

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,7620)/2 = 0,8810

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8810 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,18

Ответ

z = 1,18

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 80,8 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 баллов

Ответ

x = 80,8 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 104,6

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Предельная ошибка

E = 1,729·5,5/√20 = 2,126

Интервал

102,5 ± 2,126 → [100,4, 104,6]

Ответ

верхняя граница = 104,6

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Округлите вверх

n = 752

Ответ

n = 752

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,995

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(13²/50 + 4²/60) = √3,647 = 1,91

Статистика критерия

z = (119 − 117,1)/1,91 = 0,995

Ответ

z = 0,995

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·4/2,5)² = 6,927

Округлите вверх

n = 7

Ответ

n = 7

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9868

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 227/5 = 45,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 205,2

Коэффициент детерминации

r² = 45²/(10·205,2) = 0,9868

Ответ

r² = 0,9868

Прямая объясняет около 98,68% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,084

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 239/5 = 47,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

Линия регрессии

b = 166/40 = 4,15

a = 47,8 − 4,15·6 = 22,9

ŷ = 22,9 + 4,15·x

Найдите x

x = (44 − 22,9)/4,15 = 5,084

Ответ

x = 5,084

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income