Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €10 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 4 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €10 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 11 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 4 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 11? Найдите FV.
A = €2 000i = 4%n = 11
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €35 000, €17 000, €25 000, €30 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €20 000 и приносит €10 000, €10 000, €12 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 10 000CF3 = 12 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 погашается через 14 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 273 при доходности к погашению 3,5%. Найдите купонную ставку c в процентах.
F = €1 000n = 14P = €1 273YTM = 3,5%
c = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 4 лет и продаётся за €965. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €8 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
У компании 5 000 000 акций по €12,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Найдите z-оценку z для результата 575.
μ = 500σ = 75x = 575
z =
11.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 3
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €1. Вы выигрываете €3 с вероятностью 0,1 и €10 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €1€3: p = 0,1€10: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9556. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,9556
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 116 и стандартное отклонение s = 1. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 116s = 195%t(8) = 2,306
E =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 13. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 13E = 399%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
20 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 1,65, стандартное отклонение разностей — 3,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,65sd = 3,2
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 8. В действительности среднее равно 98.3. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 100μ = 98,3σ = 8n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 58?
n = 5ŷ = 58
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 500000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент обычного аннуитета
((1 + 0,04)11 − 1)/0,04 = 13,49
Аннуитет пренумерандо
Каждый взнос инвестирован на год дольше.
FV = 2 000·13,49·1,04 = €28 051,61
Ответ
FV = €28 051,61
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 15853 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 35 000/1,07 = 32 710,28
CF2/(1 + 0,07)2 = 17 000/1,145 = 14 848,46
CF3/(1 + 0,07)3 = 25 000/1,225 = 20 407,45
CF4/(1 + 0,07)4 = 30 000/1,311 = 22 886,86
Сложите
NPV = €15 853,04
Ответ
NPV = €15 853,04
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 27,59 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 800,00
NPV(30%) = −700,96
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 25 + 5·800,00/(800,00 − (−700,96)) = 27,66%
точно: NPV(27,59%) = 0 → IRR = 27,59%
Ответ
IRR = 27,59%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: c = 6 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Приведённая стоимость номинала
1000·(1 + 0,035)−14 = €617,78
Купон
C = (1273 − 617,78)/10,92 = €60,00
Купонная ставка
c = 60/1000 = 6%
Ответ
c = 6%
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 3,963 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€965 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Численное решение
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €963,70
YTM = 3,963%
Ответ
YTM = 3,963%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,913 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (575 − 500)/75 = 1
Ответ
z = 1
11.Вероятность
Ответ: P = 0,4213
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Ответ
P = 0,4213
12.Вероятность
Ответ: E(G) = −0,5 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 2 (p = 0,1), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)
Математическое ожидание
E(G) = 2·0,1 + 9·0,02 − 1·0,88 = −0,5 €
Ответ
E(G) = −0,5 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 2,01
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,9556)/2 = 0,9778
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,9778 внутри таблицы и считайте z.
z = 2,01
Ответ
z = 2,01
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 566 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,95
z из таблицы
z ≈ 1,64
Возврат к исходным единицам
x = 500 + 1,64·40 = 566 h
Ответ
x = 566 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 0,7687
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·1/√9 = 0,7687
Ответ
E = 0,7687
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 125
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·13/3)² = 124,6
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 125
Ответ
n = 125
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,306
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 3,2/√20 = 0,7155
Статистика критерия
t = 1,65/0,7155 = 2,306
Ответ
t = 2,306
При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 26,57 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 − 2,326·1 = 97,67
z при истинном среднем
z = (97,67 − 98,3)/1 = −0,626
Мощность
мощность = P(Z < −0.626) = 26.57%
1 − β = 26,57%
Ответ
1 − β = 26,57%
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,75
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 268/5 = 53,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 145,2
Коэффициент детерминации
r² = 33²/(10·145,2) = 0,75
Ответ
r² = 0,75
Прямая объясняет около 75% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 3,5
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 276/5 = 55,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Линия регрессии
b = 56/10 = 5,6
a = 55,2 − 5,6·3 = 38,4
ŷ = 38,4 + 5,6·x
Найдите x
x = (58 − 38,4)/5,6 = 3,5
Ответ
x = 3,5
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.