CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 6 лет.

PV = €5 0003,6% / 4n = 6

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Через 5 лет вам нужно €10 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €10 0007,2% / 12N = 60

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €500 000 сегодня. Он приносит €28 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 3 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 3%r = 8%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €16 000, €13 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 13 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 3%n = 8

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4,5% и погашается через 5 лет. Доходность к погашению — 5%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 4,5%n = 5YTM = 5%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 0,5. Стоимость её собственного капитала — 14%, стоимость долга до налогов — 5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

D/E = 0,5r_e = 14%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,3 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,5. Компания планирует увеличить это соотношение до 1. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 3,5%, рыночная премия за риск — 6,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 12, 22, 38, 16, 36, 28.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 54?

μ = 60σ = 12x = 54

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,25 и €10 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€4: p = 0,25€10: p = 0,01

E(G) = €

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 172,75 и 188,85 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 188,85

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 77,5 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 77,5s = 1290%t(6) = 1,943

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 14. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 14E = 1,595%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 83,7 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 83,7s = 15n = 25

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 195%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 53?

n = 6ŷ = 53

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 6200 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·6 = 24

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,009)²⁴ = 5 000·1,24 = €6 199,52

Ответ

FV = €6 199,52

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 139 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·5 = 60

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,006/(1,432 − 1) = €138,96

Ответ

A = €138,96

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 60000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 28 000/(0,08 − 0,03) = 560 000,00

NPV

NPV = 560 000,00 − 500 000 = €60 000,00

Ответ

NPV = €60 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,15 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 702,48

NPV(15%) = −879,02

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·702,48/(702,48 − (−879,02)) = 12,22%

точно: NPV(12,15%) = 0 → IRR = 12,15%

Ответ

IRR = 12,15%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1141 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €25,00, i = 0,015, N = 16

Приведённая стоимость купонов

€25,00·(1 − 0,788)/0,015 = €353,28

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,788 = €788,03

Цена

P = €1 141,31

Ответ

P = €1 141,31

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 4,582 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 45/1,05 = 42,86, t·PV = 42,86

t = 2: 45/1,103 = 40,82, t·PV = 81,63

t = 3: 45/1,158 = 38,87, t·PV = 116,62

t = 4: 45/1,216 = 37,02, t·PV = 148,09

t = 5: 1045/1,276 = 818,78, t·PV = 4 093,92

Дюрация

P = 978,35

D = 4 483,12/978,35 = 4,582

Ответ

D = 4,582 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,57 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса из D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 10,57%

Ответ

WACC = 10,57%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 14,14 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,3/(1 + 0,7·0,5) = 0,963

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,963·(1 + 0,7·1) = 1,637

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,637·6,5% = 14,14%

Ответ

r_e = 14,14%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 9,873

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 183/7 = 26,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 4,857² + (−14,14)² + (−4,143)² + 11,86² + (−10,14)² + 9,857² + 1,857² = 584,9

Стандартное отклонение

s = √(584,9/6) = 9,873

Ответ

s = 9,873

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,6475

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Ответ

Var(X) = 0,6475

12.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,1 €

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,25), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,25 + 9·0,01 − 1·0,74 = 0,1 €

Ответ

E(G) = 0,1 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7128

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−0,75) = 0,9394 − 0,2266 = 0,7128

Ответ

P = 0,7128

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9868

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Ответ

P = 0,9868

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 68,69

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Предельная ошибка

E = 1,943·12/√7 = 8,813

Интервал

77,5 ± 8,813 → [68,69, 86,31]

Ответ

нижняя граница = 68,69

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 335

Выразите n

n = (1,96·14/1,5)² = 334,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 335

Ответ

n = 335

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Статистика критерия

t = (83,7 − 75)/3 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 97

Выразите n

n = (1,96·5/1)² = 96,04

Округлите вверх

n = 97

Ответ

n = 97

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9143

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 80/5 = 16

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 28

Коэффициент детерминации

r² = −16²/(10·28) = 0,9143

Ответ

r² = 0,9143

Прямая объясняет около 91,43% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 6,576

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 299/6 = 49,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51,5

Линия регрессии

b = 51,5/17,5 = 2,943

a = 49,83 − 2,943·5,5 = 33,65

ŷ = 33,65 + 2,943·x

Найдите x

x = (53 − 33,65)/2,943 = 6,576

Ответ

x = 6,576

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income