CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 6 лет.

PV = €2 0004% / 12n = 6

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €300 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 2? Найдите остаток долга B.

P = €300 0003,6% / 12N = 360k = 24

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €14 000, €9 000, €14 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 9 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €200 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €28 500 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 7. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €28 500g = 2%n = 7r = 12%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 2,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 2,5%n = 8

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 010 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 6,7 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 75 базисных пунктов.

P₀ = €1 010y = 7%D = 6,7Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1,2. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,4. Ставка налога — 20%, безрисковая ставка — 1%, рыночная премия за риск — 5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 1,2D/E = 0,4T = 20%r_f = 1%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 25, 37, 26, 32, 32.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 200?

μ = 170σ = 15x = 200

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,2, 0,2, 0,25

σ =

12.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €6 с вероятностью 0,15 и €150 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€6: p = 0,15€150: p = 0,05

E(G) = €

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,5878. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,5878

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 25,5 и стандартное отклонение s = 1,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 25,5s = 1,590%t(10) = 1,812

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 15E = 195%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 501,5 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,5s = 5n = 64

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 123. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 123σ = 20n = 6490%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 337Σx² = 220Σy² = 23945Σxy = 2236

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (6, 43). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(6, 43)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2541 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·6 = 72

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,003333)⁷² = 2 000·1,271 = €2 541,48

Ответ

FV = €2 541,48

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 288473 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 360

A = 300 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁶⁰) = €1 363,94

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 360 − 24 = 336

B = 1364·(1 − (1 + 0,003)⁻³³⁶)/0,003 = €288 472,81

Ответ

B = €288 472,81

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 2373 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 14 000/1,07 = 13 084,11

CF₂/(1 + 0,07)² = 9 000/1,145 = 7 860,95

CF₃/(1 + 0,07)³ = 14 000/1,225 = 11 428,17

Сложите

NPV = €2 373,23

Ответ

NPV = €2 373,23

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −63088 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,02)/(1,12))⁷ = 0,5196

PV = 28 500/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,5196) = 136 911,99

NPV

NPV = 136 911,99 − 200 000 = −€63 088,01

Ответ

NPV = −€63 088,01

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 963,9 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €10,00, i = 0,0125, N = 16

Приведённая стоимость купонов

€10,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €144,20

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,8197 = €819,75

Цена

P = €963,95

Ответ

P = €963,95

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 962,6 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 6,7/1,07 = 6,262

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −6,262·(0,0075) = −4,696%

P ≈ 1010·(1 − 0,04696) = €962,57

Ответ

P = €962,57

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,383 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·3,5%·(1 − 0,21) = 6,383%

Ответ

WACC = 6,383%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 8,92 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 1,2·(1 + 0,8·0,4) = 1,584

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,584·5% = 8,92%

Ответ

r_e = 8,92%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 4,93

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 152/5 = 30,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,4)² + 6,6² + (−4,4)² + 1,6² + 1,6² = 97,2

Стандартное отклонение

s = √(97,2/4) = 4,93

Ответ

s = 4,93

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

11.Вероятность

Ответ: σ = 1,337

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,1 + 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,25

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,85

Дисперсия

Var(X) = 6,85 − 2,25² = 1,787

σ = √1,787 = 1,337

Ответ

σ = 1,337

12.Вероятность

Ответ: E(G) = 5,4 €

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,15), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,15 + 147·0,05 − 3·0,8 = 5,4 €

Ответ

E(G) = 5,4 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,82

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,5878)/2 = 0,7939

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7939 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,82

Ответ

z = 0,82

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 183,9 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Ответ

x = 183,9 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 0,8195

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Предельная ошибка

E = 1,812·1,5/√11 = 0,8195

Ответ

E = 0,8195

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 865

Выразите n

n = (1,96·15/1)² = 864,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 865

Ответ

n = 865

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерия

t = (501,5 − 500)/0,625 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 118,9

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√64 = 4,112

Граница интервала

L = 123 − 4,112 = 118,9

Ответ

L = 118,9

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9643

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2236 − 30·337/5 = 214

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 23945 − 337²/5 = 1231

Коэффициент корреляции

r = 214/√(40·1231) = 0,9643

Ответ

r = 0,9643

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,6

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 216/5 = 43,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Линия регрессии

b = 56/40 = 1,4

a = 43,2 − 1,4·5 = 36,2

ŷ = 36,2 + 1,4·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 36,2 + 1,4·6 = 44,6

Остаток

e = 43 − 44,6 = −1,6

Ответ

e = −1,6

Точка лежит ниже прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income