Аннуитет выплачивает €5 000 в конце каждого года в течение 14 лет. Процентная ставка — 6 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €5 000i = 6%n = 14
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €25 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €60 000 сегодня, служит 4 лет, а его эксплуатация обходится в €5 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 8 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 4r = 8%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Инвестиция €20 000 приносит €4 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
C0 = €20 000CF = €4 000n = 6
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 3,5%n = 8
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €1 095 при доходности к погашению 4% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 5,3 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность снизится на 25 базисных пунктов.
P0 = €1 095y = 4%D = 5,3Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
Соотношение заёмного и собственного капитала компании (по рыночной стоимости) равно 1. Стоимость её собственного капитала — 10%, стоимость долга до налогов — 4,5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
D/E = 1re = 10%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM и WACCСложная
Бета акций компании равна 1,4 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,5. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,5. Ставка налога — 28%, безрисковая ставка — 3,5%, рыночная премия за риск — 6%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 88.
μ = 70σ = 12x = 88
z =
11.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35
σ =
12.ВероятностьСложная
В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,2, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?
n = 5p = 0,2k = 2
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,7737. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,7737
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 11,5. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по 50 наблюдениям?
95%n₁ = 25E₁ = 11,599%n₂ = 50
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 40. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 40E = 0,599%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 123,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 123,8s = 20n = 81
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 36 измерений имеет среднее 99,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 99,1σ = 8n = 3699%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 104Σx² = 91Σy² = 1886Σxy = 329
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (21, 55). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(21, 55)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 46475 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4423)/0,06 = 9,295
Приведённая стоимость
PV = 5 000·9,295 = €46 474,92
Ответ
PV = €46 474,92
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 407,3 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·6 = 72
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,7238
A = 25 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €407,28
Ответ
A = €407,28
3.NPV и IRR
Ответ: EAC = 23115 €
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,08−4)/0,08 = 3,312
Цена покупки в пересчёте на год
60 000/3,312 = 18 115,25
EAC
EAC = 18 115,25 + 5 000 = €23 115,25
Ответ
EAC = €23 115,25
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 5,472 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Требуемый коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−6)/i = 20 000/4 000 = 5
Находим ставку
Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.
i = 5%: 5,076
i = 6%: 4,917
IRR = 5,472%
Ответ
IRR = 5,472%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1173 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €30,00, i = 0,0175, N = 16
Приведённая стоимость купонов
€30,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €415,51
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7576 = €757,62
Цена
P = €1 173,13
Ответ
P = €1 173,13
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1109 €
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 5,3/1,04 = 5,096
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −5,096·(−0,0025) = 1,274%
P ≈ 1095·(1 + 0,01274) = €1 108,95
Ответ
P = €1 108,95
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,688 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса из D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·4,5%·(1 − 0,25) = 6,688%
Ответ
WACC = 6,688%
8.CAPM и WACC
Ответ: re = 16,35 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,4/(1 + 0,72·0,5) = 1,029
Пересчёт при новом D/E
βL = 1,029·(1 + 0,72·1,5) = 2,141
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 3,5% + 2,141·6% = 16,35%
Ответ
re = 16,35%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 18,64
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (88 − 70)/12 = 1,5
Ответ
z = 1,5
11.Вероятность
Ответ: σ = 2,569
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 2) = 10·0,22·0,83 = 10·0,04·0,512 = 0,2048
Ответ
P = 0,2048
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,21
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,7737)/2 = 0,8869
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,8869 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,21
Ответ
z = 1,21
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9452
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Ответ
P = 0,9452
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 10,69
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/50) = 0,9293
Новая предельная ошибка
E₂ = 11,5·0,9293 = 10,69
Ответ
E₂ = 10,69
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 42469
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·40/0,5)² = 42469
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 42469
Ответ
n = 42469
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,71
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Статистика критерия
t = (123,8 − 120)/2,222 = 1,71
Ответ
t = 1,71
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 102,5
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·8/√36 = 3,435
Граница интервала
U = 99,1 + 3,435 = 102,5
Ответ
U = 102,5
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9165
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 329 − 21·104/6 = −35
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1886 − 104²/6 = 83,33
Коэффициент корреляции
r = −35/√(17,5·83,33) = −0,9165
Ответ
r = −0,9165
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 299/5 = 59,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Линия регрессии
b = 112/40 = 2,8
a = 59,8 − 2,8·22 = −1,8
ŷ = −1,8 + 2,8·x
Прогнозируемое значение
ŷ = −1,8 + 2,8·21 = 57
Остаток
e = 55 − 57 = −2
Ответ
e = −2
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.