CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под 3 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 10 лет.

PV = €20 000r = 3%t = 10

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы берёте в долг €25 000 под 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €575 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.

P = €25 000A = €5754,8% / 12

N = платежей

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €31 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 2 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €31 000g = 2%r = 9%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €29 000, €27 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 27 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 8 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 129 при доходности к погашению 5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 8P = €1 129YTM = 5%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 5% погашается через 6 лет и продаётся за €905. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 5%n = 6P = €905

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €8 000 000, долг — €3 000 000. Её WACC равна 7,77%, стоимость долга до налогов — 6%, ставка налога — 25%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 7,77%r_d = 6%T = 25%

r_e = %

8.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 0,9 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,5. Ставка налога — 30%, безрисковая ставка — 2%, рыночная премия за риск — 7%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,5T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 19, 26, 56, 42, 45.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 103?

μ = 100σ = 5x = 103

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

В тесте 7 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 7p = 0,6k = 3

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82,75 и 118,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 82,75x₂ = 118,75

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

У 12 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −8,1 и стандартное отклонение 1,6. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 12d̄ = −8,1s_d = 1,699%t(11) = 3,106

E = mmHg

16.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,2 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p ≈ 0,2E = 0,02599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 198,9 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,9s = 8n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 50,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 50,5σ = 4n = 2599%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 330Σx² = 220Σy² = 22862Σxy = 2186

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (7, 35). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(7, 35)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 26997 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,03·10 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Будущая стоимость

FV = 20 000·1,35 = €26 997,18

Ответ

FV = €26 997,18

2.Временная стоимость денег

Ответ: N = 48 платежей

Преобразуем формулу аннуитета

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,004/575 = 0,8261

Решаем с помощью логарифмов

N = −ln(0,8261)/ln(1,004) = 47,86

Округляем вверх до целых платежей

После 47 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.

N = 48

Ответ

N = 48 платежей

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 42857 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 31 000/(0,09 − 0,02) = 442 857,14

NPV

NPV = 442 857,14 − 400 000 = €42 857,14

Ответ

NPV = €42 857,14

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 26,05 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 480,00

NPV(30%) = −1 715,98

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·480,00/(480,00 − (−1 715,98)) = 26,09%

точно: NPV(26,05%) = 0 → IRR = 26,05%

Ответ

IRR = 26,05%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 6,996 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,05)⁻⁸ = €676,84

Купон

C = (1129 − 676,84)/6,463 = €69,96

Купонная ставка

c = 69,96/1000 = 6,996%

Ответ

c = 6,996%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 6,993 %

Уравнение для доходности

€905 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Численное решение

P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67

YTM = 6,993%

Ответ

YTM = 6,993%

7.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 8,996 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727

Долговая часть WACC

0,2727·6%·(1 − 0,25) = 1,227%

Стоимость собственного капитала

r_e = (7,77% − 1,227%)/0,7273 = 8,996%

Ответ

r_e = 8,996%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 12,09 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 0,9/(1 + 0,7·0,4) = 0,7031

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,7031·(1 + 0,7·1,5) = 1,441

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 1,441·7% = 12,09%

Ответ

r_e = 12,09%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,94

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 188/5 = 37,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−18,6)² + (−11,6)² + 18,4² + 4,4² + 7,4² = 893,2

Стандартное отклонение

s = √(893,2/4) = 14,94

Ответ

s = 14,94

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Ответ

P = 0,2743

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 144,8

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,25 + 20·0,3 + 30·0,1 + 40·0,35 = 25,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,3 + 900·0,1 + 1600·0,35 = 795

Дисперсия

Var(X) = 795 − 25,5² = 144,8

Ответ

Var(X) = 144,8

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1935

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 35·0,6³·0,4⁴ = 35·0,216·0,0256 = 0,1935

Ответ

P = 0,1935

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7693

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693

Ответ

P = 0,7693

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9207

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Ответ

P = 0,9207

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 1,435 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 11, t = 3,106

Предельная ошибка

E = 3,106·1,6/√12 = 1,435

Ответ

E = 1,435 mmHg

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1699

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,2·0,8/0,025² = 1699

Округлите вверх

n = 1699

Ответ

n = 1699

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,375

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерия

t = (198,9 − 200)/0,8 = −1,375

Ответ

t = −1,375

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 52,56

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√25 = 2,061

Граница интервала

U = 50,5 + 2,061 = 52,56

Ответ

U = 52,56

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9902

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2186 − 30·330/5 = 206

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 22862 − 330²/5 = 1082

Коэффициент корреляции

r = 206/√(40·1082) = 0,9902

Ответ

r = 0,9902

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,15

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 132/5 = 26,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

Линия регрессии

b = 178/40 = 4,45

a = 26,4 − 4,45·6 = −0,3

ŷ = −0,3 + 4,45·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −0,3 + 4,45·7 = 30,85

Остаток

e = 35 − 30,85 = 4,15

Ответ

e = 4,15

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income