Через 8 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.
FV = €50 0004,8% / 4n = 8
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 10 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €2504,2% / 12N = 120
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €40 000 сегодня. Он приносит €11 000 в конце каждого года в течение 4 лет, а затем может быть продан за €4 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €40 000CF = €11 000S = €4 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €20 000 и приносит €15 000, €7 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 7 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 7 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 2%) при доходности к погашению 5,5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 6%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 2%n = 7y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 8% погашается через 10 лет и продаётся за €1 070. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 8%n = 10P = €1 070
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 0,6 имеет требуемую доходность 7,3%. Безрисковая ставка — 4%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 0,6re = 7,3%rf = 4%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 1. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 1. Ставка налога — 20%, безрисковая ставка — 3%, рыночная премия за риск — 5,5%. Найдите стоимость собственного капитала re при новой структуре капитала.
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 34?
μ = 50σ = 20x = 34
P =
11.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 6
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €2. Вы выигрываете €6 с вероятностью 0,15 и €100 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €2€6: p = 0,15€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0202. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,0202
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
15.Доверительные интервалыСредняя
У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 8,7 и стандартное отклонение 3. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 15d̄ = 8,7sd = 390%t(14) = 1,761
верхняя граница = mmHg
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 29E = 199%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
15 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 5,06, стандартное отклонение разностей — 4,9. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 5,06sd = 4,9
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 16 измерений имеет среднее 194,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 194,4σ = 15n = 1695%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 72). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(9, 72)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 34135 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка и число периодов
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·8 = 32
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,465 = €34 134,50
Ответ
PV = €34 134,50
2.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 37203 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков
11 000·3,465 = 38 116,16
Приведённая стоимость ликвидационной стоимости
4 000/1,262 = 3 168,37
NPV
NPV = −40 000 + 38 116,16 + 3 168,37 = €1 284,54
Ответ
NPV = €1 284,54
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 9,307 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(5%) = 1 088,44
NPV(10%) = −165,29
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (7,3% − 4%)/0,6 = 5,5%
Доходность рынка
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Ответ
rm = 9,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: re = 12,9 %
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета с учётом долга
βL = 1·(1 + 0,8·1) = 1,8
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 3% + 1,8·5,5% = 12,9%
Ответ
re = 12,9%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 15,33
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблица нормального распределения
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Ответ
P = 0,7881
11.Вероятность
Ответ: P = 0,6651
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Ответ
P = 0,6651
12.Вероятность
Ответ: E(G) = 0,9 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 4 (p = 0,15), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)
Математическое ожидание
E(G) = 4·0,15 + 98·0,02 − 2·0,83 = 0,9 €
Ответ
E(G) = 0,9 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 2,05
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,0202 = 0,9798
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,9798 внутри таблицы и считайте z.
z = 2,05
Ответ
z = 2,05
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 166,5 cm
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Обратно к x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Ответ
x = 166,49 cm
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 10,06 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 14, t = 1,761
Предельная ошибка
E = 1,761·3/√15 = 1,364
Интервал
8,7 ± 1,364 → [7,336, 10,06]
Ответ
верхняя граница = 10,06 mmHg
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 5581
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·29/1)² = 5581
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 5581
Ответ
n = 5581
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,999
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 4,9/√15 = 1,265
Статистика критерия
t = 5,06/1,265 = 3,999
Ответ
t = 3,999
При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 201,8
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·15/√16 = 7,35
Граница интервала
U = 194,4 + 7,35 = 201,8
Ответ
U = 201,8
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9548
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 372/6 = 62
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73
Syy = Σ(y − ȳ)² = 334
Коэффициент корреляции
r = 73/√(17,5·334) = 0,9548
Ответ
r = 0,9548
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 2,986
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 369/6 = 61,5
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263
Линия регрессии
b = 263/70 = 3,757
a = 61,5 − 3,757·7 = 35,2
ŷ = 35,2 + 3,757·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 35,2 + 3,757·9 = 69,01
Остаток
e = 72 − 69,01 = 2,986
Ответ
e = 2,986
Точка лежит выше прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.