Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 3 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 10 лет.
PV = €20 0003% / 12n = 10
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €50 в конце каждого месяца в течение 12 лет. Счёт даёт 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €507,2% / 12N = 144
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €13 000 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 6 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €25 000 и приносит €15 000, €17 500, €14 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 17 500CF3 = 14 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 5% и погашается через 13 лет. Её доходность к погашению меняется с 2,5% до 4%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 5%n = 13y1 = 2,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 4% двумя полугодовыми платежами и погашается через 9 лет. Она продаётся за €747. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.
F = €1 000купон = 4% (2×)n = 9P = €747
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
Бета акций компании равна 1,3 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 1,5. Ставка налога — 28%, безрисковая ставка — 1,5%, рыночная премия за риск — 4%. Найдите стоимость собственного капитала re после изменения.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Найдите z-оценку z для результата 550.
μ = 500σ = 40x = 550
z =
11.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 4
P =
12.ВероятностьСложная
Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 5p = 0,3
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 200,6 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,6 mm
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 41,5 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 41,5s = 8,595%t(14) = 2,145
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,4 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?
p ≈ 0,4E = 0,0299%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
20 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 1,57, стандартное отклонение разностей — 1,9. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,57sd = 1,9
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 64 измерений имеет среднее 43. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 43σ = 20n = 6499%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 16.
n = 5x = 16
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 26987 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 13 000/1,06 = 12 264,15 → Σ = 12 264,15
год 2: 13 000/1,124 = 11 569,95 → Σ = 23 834,10
год 3: 13 000/1,191 = 10 915,05 → Σ = 34 749,16
год 4: 13 000/1,262 = 10 297,22 → Σ = 45 046,37
Доля последнего года
DPB = 3 + 5 250,84/10 297,22 = 3,51
Ответ
DPB = 3,51 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,077 лет).
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 39,19 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(35%) = 1 403,50
NPV(40%) = −255,10
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €20,00, N = 18
Численное решение
i = 3,998% за полгода
YTM
YTM = 2·3,998% = 7,996%
Ответ
YTM = 7,996%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,196 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), где βU — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.
Бета без учёта долга
βU = 1,3/(1 + 0,72·0,4) = 1,009
Пересчёт при новом D/E
βL = 1,009·(1 + 0,72·1,5) = 2,099
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 1,5% + 2,099·4% = 9,898%
Ответ
re = 9,898%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 15,55
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (550 − 500)/40 = 1,25
Ответ
z = 1,25
11.Вероятность
Ответ: P = 0,5177
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Ответ
P = 0,5177
12.Вероятность
Ответ: P = 0,5282
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,75 = 0,1681
P(X = 1) = 5·0,3·0,74 = 0,3601
Сложите
P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282
Ответ
P = 0,5282
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,1151
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2
Верхний хвост
P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151
Ответ
P = 0,1151
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8413
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Вероятность
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 46,21
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Предельная ошибка
E = 2,145·8,5/√15 = 4,708
Интервал
41,5 ± 4,708 → [36,79, 46,21]
Ответ
верхняя граница = 46,21
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 3982
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 2,576²·0,4·0,6/0,02² = 3981
Округлите вверх
n = 3982
Ответ
n = 3982
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,695
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 1,9/√20 = 0,4249
Статистика критерия
t = 1,57/0,4249 = 3,695
Ответ
t = 3,695
При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 49,44
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·20/√64 = 6,44
Граница интервала
U = 43 + 6,44 = 49,44
Ответ
U = 49,44
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9901
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 304/6 = 50,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Syy = Σ(y − ȳ)² = 493,3
Коэффициент корреляции
r = 92/√(17,5·493,3) = 0,9901
Ответ
r = 0,9901
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 79,5
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 480/5 = 96
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220
Линия регрессии
b = 220/40 = 5,5
a = 96 − 5,5·19 = −8,5
ŷ = −8,5 + 5,5·x
Прогноз
ŷ = −8,5 + 5,5·16 = 79,5
Ответ
ŷ = 79,5
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.