CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под номинальную ставку 5 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 5 лет.

PV = €1 0005% / 12n = 5

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Через 3 лет вам нужно €50 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €50 0006% / 12N = 36

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €12 000, €11 000, €9 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 11 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €16 500 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 9. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €16 500g = 2%n = 9r = 10%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4,5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 10 лет. Доходность к погашению — 9% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 9%n = 10

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 10 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 7%) продаётся за €1 198. Эмитент может досрочно погасить её через 3 лет по цене отзыва €1 070. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 7%P = €1 198цена отзыва = €1 070отзыв через 3 годы

YTC = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 500 000 акций по €48,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 0,9, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.

β = 0,9r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 57, 17, 13, 60, 39, 57.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 210.

μ = 170σ = 20x = 210

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 176,25 и 183,6 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 176,25x₂ = 183,6

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 84,5 и стандартное отклонение s = 20. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 84,5s = 2095%t(10) = 2,228

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 17E = 195%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 61 mm, известное стандартное отклонение линии 15 mm. Линия 2: выборка из 80 деталей имеет среднее 57,7 mm, известное стандартное отклонение 7 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 61 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 80x̄₂ = 57,7 mmσ₂ = 7 mm

z =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 111 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 111n₂ = 300

z =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 20Σy = 302Σx² = 90Σy² = 18578Σxy = 1265

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 11?

n = 5ŷ = 11

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 1283 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·5 = 60

Будущая стоимость

FV = 1 000·(1 + 0,004167)⁶⁰ = 1 000·1,283 = €1 283,36

Ответ

FV = €1 283,36

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1271 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·3 = 36

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,005/(1,197 − 1) = €1 271,10

Ответ

A = €1 271,10

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −1831 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 12 000/1,07 = 11 214,95

CF₂/(1 + 0,07)² = 11 000/1,145 = 9 607,83

CF₃/(1 + 0,07)³ = 9 000/1,225 = 7 346,68

Сложите

NPV = €−1 830,54

Ответ

NPV = €−1 830,54

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −48285 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,02)/(1,1))⁹ = 0,5068

PV = 16 500/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,5068) = 101 715,09

NPV

NPV = 101 715,09 − 150 000 = −€48 284,91

Ответ

NPV = −€48 284,91

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 707,3 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €22,50, i = 0,045, N = 20

Приведённая стоимость купонов

€22,50·(1 − 0,4146)/0,045 = €292,68

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,4146 = €414,64

Цена

P = €707,32

Ответ

P = €707,32

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 2,364 %

Уравнение для доходности

1198 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

Численное решение

y = 2%: €1 210,16

y = 3%: €1 177,20

YTC = 2,364%

Ответ

YTC = 2,364%

Доходность к погашению равна 4,498%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,943 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·6%·(1 − 0,3) = 6,943%

Ответ

WACC = 6,943%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 4,909 %

Рыночные стоимости

E = 2 500 000·€48,50 = €121 250 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,9·4% = 5,1%

Веса

V = €131 250 000, E/V = 0,9238, D/V = 0,07619

WACC

WACC = 0,9238·5,1% + 0,07619·3,5%·(1 − 0,258) = 4,909%

Ответ

WACC = 4,909%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 21,14

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 243/6 = 40,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 16,5² + (−23,5)² + (−27,5)² + 19,5² + (−1,5)² + 16,5² = 2236

Стандартное отклонение

s = √(2236/5) = 21,14

Ответ

s = 21,14

10.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Стандартизуйте

z = (210 − 170)/20 = 2

Ответ

z = 2

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 112,8

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,3 = 26,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,3 = 815

Дисперсия

Var(X) = 815 − 26,5² = 112,8

Ответ

Var(X) = 112,8

12.Вероятность

Ответ: P = 0,3758

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8¹⁰ = 0,1074

P(X = 1) = 10·0,2·0,8⁹ = 0,2684

Сложите

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Ответ

P = 0,3758

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3869

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (176,25 − 178)/7 = −0,25

z₂ = (183,6 − 178)/7 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−0,25) = 0,7881 − 0,4013 = 0,3869

Ответ

P = 0,3869

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 13,44

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Предельная ошибка

E = 2,228·20/√11 = 13,44

Ответ

E = 13,44

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1111

Выразите n

n = (1,96·17/1)² = 1110

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1111

Ответ

n = 1111

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,783

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(15²/80 + 7²/80) = √3,425 = 1,851

Статистика критерия

z = (61 − 57,7)/1,851 = 1,783

Ответ

z = 1,783

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,6181

Выборочные доли

p̂₁ = 60/150 = 0,4

p̂₂ = 111/300 = 0,37

p̂ = 171/450 = 0,38

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,38·0,62·(1/150 + 1/300)) = 0,04854

Статистика критерия

z = (0,4 − 0,37)/0,04854 = 0,6181

Ответ

z = 0,6181

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9816

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1265 − 20·302/5 = 57

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 18578 − 302²/5 = 337,2

Коэффициент корреляции

r = 57/√(10·337,2) = 0,9816

Ответ

r = 0,9816

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,053

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 64/5 = 12,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Линия регрессии

b = 76/40 = 1,9

a = 12,8 − 1,9·6 = 1,4

ŷ = 1,4 + 1,9·x

Найдите x

x = (11 − 1,4)/1,9 = 5,053

Ответ

x = 5,053

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income