Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €6 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €6 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 11 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €1004,8% / 12N = 132
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €80 000 сегодня, служит 5 лет, а его эксплуатация обходится в €4 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 5 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €80 000M = €4 000n = 5r = 5%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €20 000 и приносит €11 500, €7 500, €10 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 7 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 2%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 5% двумя полугодовыми платежами и погашается через 3 лет. Она продаётся за €1 057. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.
F = €1 000купон = 5% (2×)n = 3P = €1 057
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.
У компании 4 000 000 акций по €41,50 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.
X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 35,8 min. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,8 min
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 8 элементов имеет среднее 53,5 и стандартное отклонение s = 1,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 8x̄ = 53,5s = 1,590%t(7) = 1,895
нижняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,1 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?
p ≈ 0,1E = 0,0195%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 109,5 mm, известное стандартное отклонение линии 6 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 104 mm, известное стандартное отклонение 17 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 15E = 399%
n =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 7,5.
n = 6x = 7,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 150000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,05−5)/0,05 = 4,329
Цена покупки в пересчёте на год
80 000/4,329 = 18 477,98
EAC
EAC = 18 477,98 + 4 000 = €22 477,98
Ответ
EAC = €22 477,98
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 22,83 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(20%) = 868,06
NPV(25%) = −624,00
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 20 + 5·868,06/(868,06 − (−624,00)) = 22,91%
точно: NPV(22,83%) = 0 → IRR = 22,83%
Ответ
IRR = 22,83%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 906,9 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €10,00, i = 0,015, N = 22
Приведённая стоимость купонов
€10,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €186,21
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,7207 = €720,69
Цена
P = €906,90
Ответ
P = €906,90
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 2,999 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €25,00, N = 6
Численное решение
i = 1,5% за полгода
YTM
YTM = 2·1,5% = 2,999%
Ответ
YTM = 2,999%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 10,05 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·11% + 0,1429·6%·(1 − 0,28) = 10,05%
Ответ
WACC = 10,05%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 10,58 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (530 − 500)/75 = 0,4
Ответ
z = 0,4
11.Вероятность
Ответ: Var(X) = 115
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 27,5, Var(X) = 88,75, σX = 9,421
Линейное преобразование
σY = |3|·9,421 = 28,26
Ответ
σY = 28,26
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·27,5 + 10 = 92,5.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,06426
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52
Верхний хвост
P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426
Ответ
P = 0,06426
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 593,1 h
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Обратно к x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Ответ
x = 593,05 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 52,5
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Предельная ошибка
E = 1,895·1,5/√8 = 1,005
Интервал
53,5 ± 1,005 → [52,5, 54,5]
Ответ
нижняя граница = 52,5
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 3458
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,01² = 3457
Округлите вверх
n = 3458
Ответ
n = 3458
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 2,825
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартная ошибка разности
SE = √(6²/40 + 17²/100) = √3,79 = 1,947
Статистика критерия
z = (109,5 − 104)/1,947 = 2,825
Ответ
z = 2,825
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 166
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (2,576·15/3)² = 165,9
Округлите вверх
n = 166
Ответ
n = 166
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9919
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 401/6 = 66,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 331
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1591
Коэффициент корреляции
r = 331/√(70·1591) = 0,9919
Ответ
r = 0,9919
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 40,8
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 216/6 = 36
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Линия регрессии
b = 42/17,5 = 2,4
a = 36 − 2,4·5,5 = 22,8
ŷ = 22,8 + 2,4·x
Прогноз
ŷ = 22,8 + 2,4·7,5 = 40,8
Ответ
ŷ = 40,8
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.