Вы инвестируете €5 000 под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 10 лет.
PV = €5 000r = 5%t = 10
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы берёте в долг €15 000 под 6 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €375 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.
P = €15 000A = €3756% / 12
N = платежей
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €500 000 сегодня. Он приносит €59 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €500 000CF1 = €59 000g = 1%r = 10%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €20 000 и приносит €14 000, €11 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 4 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 3%) при доходности к погашению 5%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 6%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 4y0 = 5%y1 = 6%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 6 лет и продаётся за €1 050. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 7%n = 6P = €1 050
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €8 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость привилегированного капитала — 8%, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC.
У компании 2 500 000 акций по €9,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,2, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 10,5%. Найдите WACC.
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 30?
μ = 60σ = 20x = 30
P =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.
n = 9k = 5
N =
12.ВероятностьСложная
Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 11p = 0,2
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 166,8 и 185,35 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 166,8x2 = 185,35
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 90% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов90%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 4,4. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по 128 наблюдениям?
95%n₁ = 64E₁ = 4,499%n₂ = 128
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 24. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 24E = 399%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 117,9 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,9s = 4n = 36
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 8244 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Показатель степени
r·t = 0,05·10 = 0,5
e0,5 = 1,649
Будущая стоимость
FV = 5 000·1,649 = €8 243,61
Ответ
FV = €8 243,61
2.Временная стоимость денег
Ответ: N = 45 платежей
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Преобразуем формулу аннуитета
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,005/375 = 0,8
Решаем с помощью логарифмов
N = −ln(0,8)/ln(1,005) = 44,74
Округляем вверх до целых платежей
После 44 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.
N = 45
Ответ
N = 45 платежей
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 155556 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 59 000/(0,1 − 0,01) = 655 555,56
NPV
NPV = 655 555,56 − 500 000 = €155 555,56
Ответ
NPV = €155 555,56
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 18,52 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(15%) = 869,57
NPV(20%) = −347,22
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 15 + 5·869,57/(869,57 − (−347,22)) = 18,57%
точно: NPV(18,52%) = 0 → IRR = 18,52%
Ответ
IRR = 18,52%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: HPR = 2,231 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 050 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Численное решение
P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17
YTM = 5,984%
Ответ
YTM = 5,984%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,56 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
11.Вероятность
Ответ: N = 126
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Ответ
N = 126
12.Вероятность
Ответ: P = 0,3221
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,811 = 0,0859
P(X = 1) = 11·0,2·0,810 = 0,2362
Сложите
P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221
Ответ
P = 0,3221
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7983
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6
z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05
Площадь между
P = Φ(1,05) − Φ(−1,6) = 0,8531 − 0,0548 = 0,7983
Ответ
P = 0,7983
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 77,8 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,9
z из таблицы
z ≈ 1,28
Возврат к исходным единицам
x = 65 + 1,28·10 = 77,8 баллов
Ответ
x = 77,8 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 4,089
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/128) = 0,9293
Новая предельная ошибка
E₂ = 4,4·0,9293 = 4,089
Ответ
E₂ = 4,089
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 425
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·24/3)² = 424,7
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 425
Ответ
n = 425
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,15
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Статистика критерия
t = (117,9 − 120)/0,6667 = −3,15
Ответ
t = −3,15
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 749
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((1,645 + 0,842)·11/1)² = 748,4
Округлите вверх
n = 749
Ответ
n = 749
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9714
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 110/6 = 18,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −61
Syy = Σ(y − ȳ)² = 225,3
Коэффициент корреляции
r = −61/√(17,5·225,3) = −0,9714
Ответ
r = −0,9714
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 20,3
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Линия регрессии
b = 100/40 = 2,5
a = 17,8 − 2,5·6 = 2,8
ŷ = 2,8 + 2,5·x
Прогноз
ŷ = 2,8 + 2,5·7 = 20,3
Ответ
ŷ = 20,3
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.