Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.
Is = 3 AVs = 4 VR1 = 2 ΩR2 = 8 Ω
Ix = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).
Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
V1 = −1 VV2 = 0,6 VR1 = 47 kΩR2 = 1 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 25 ms.
Vs = 10 VR1 = 3,3 kΩR2 = 1 kΩC = 100 µFt = 25 ms
vC = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,679 A? Найдите t.
Vs = 24 VR1 = 33 ΩR2 = 5 ΩL = 220 mH
t = ms
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,443 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 3 + 9,474 = 12,47 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/12,47 = 1,443 A
Ответ
IR1 = 1,443 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,3102 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 20 + 3 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 2,654 Ω
R3 + 2,654 = 10,65 Ω
R2 ∥ 10,65 = 4,569 Ω
Req = R1 + 4,569 = 12 + 4,569 = 16,57 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/16,57 = 0,5432 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,5432·12 = 2,482 V
IR2 = VA/R2 = 2,482/8 = 0,3102 A
Ответ
IR2 = 0,3102 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: Ix = 1 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 4
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/2 + (VA + 4)/8 = 3
VA = (3 − 4/8)/(1/2 + 1/8) = 4 V
VB = 4 + 4 = 8 V
Ток через источник напряжения
Всё, что проходит через источник от A к B, уходит из узла B через R₂.
Ix = VB/R2 = 8/8 = 1 A
Ответ
Ix = 1 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 27,88 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 36 V, V2 = 36 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/10 + (VA − 36)/5 + (VA − VB)/6 = 0
0,4667·VA − 0,1667·VB = 7,2
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 5(I1 − I2) = 12
8·I1 − 5·I2 = 12
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 5(I2 − I1) = (−18)
−5·I1 + 10·I2 = −18
Решите
Δ = (8)(10) − (−5)(−5) = 55
I1 = Δ1/Δ = 30/55 = 0,5455 A
I2 = Δ2/Δ = −84/55 = −1,527 A
Ответ
IR2 = I2 = −1,527 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR4 = 0,6292 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
3·I1 + 15(I1 − I2) = 12
18·I1 − 15·I2 = 12
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
15·I2 + 15(I2 − I1) + 6(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 36·I2 − 6·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
5·I3 + 6(I3 − I2) = (−10)
−6·I2 + 11·I3 = −10
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 4005
I1 = Δ1/Δ = 3420/4005 = 0,8539 A
I2 = Δ2/Δ = 900/4005 = 0,2247 A
I3 = Δ3/Δ = −3150/4005 = −0,7865 A
Ответ
IR4 = I1 − I2 = 0,6292 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: PR2 = 13,2 W
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 5+3 = 8 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
VA = 15·3,429/(3+3,429) = 8 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 8·3/8 = 3 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (8 − 0)/6 = 1,333 A
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 7 = 2,1 Ω
VB = Is·Req = 1,5·2,1 = 3,15 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 3,15·2/7 = 0,9 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (0,9 − 0)/6 = 0,15 A
Складываем вклады токов
IR2 = IR2′ + IR2″ = 1,333 + 0,15 = 1,483 A
Мощность в резисторе
Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.
PR2 = IR2²·R2 = 1,483²·6 = 13,2 W
Ответ
PR2 = 13,2 W
Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 10,8 W, что неверно.
8.Метод наложения
Ответ: IR2 = 0,9273 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,1107 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·3/(20+3) = 2,609 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,609 + 8 = 10,61 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(20+3) = 1,174 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 1,174/10,61 = 0,1107 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 6,6 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 10 = 13,33 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 6·3,333 = 28 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28 + 6·10 = 88 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 88/13,33 = 6,6 A
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −1,88 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Напряжение на входах
Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = −1/47 = −0,02128 mA
I2 = V2/R2 = 0,6/1 = 0,6 mA
If = I1 + I2 = 0,5787 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −2·0,5787 = −1,157 V
Ответ
Vout = −1,157 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 0,6466 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·1/(3,3 + 1) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 10·1/(3,3 + 1) = 2,326 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 0,7674·100 = 76,74 ms
Кривая заряда
vC(t) = 2,326·(1 − e−25/76,74) = 0,6466 V
Ответ
vC = 0,6466 V
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 4,065 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.