Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт V_B − V_A = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение V_B (относительно земли).

I_s = 4 AV_s = 3 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 Ω

V_B = V

4.Метод узловых потенциаловСложная

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение V_B (относительно земли).

V₁ = 5 VI_s = 2,5 AV₂ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 Ω

V_B = V

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение V_R1 на R₁ с указанной полярностью.

V₁ = 10 VV₂ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

V_R1 = V

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₃ (по часовой стрелке).

V₁ = 36 VV₂ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 30 Ω

I₃ = A

7.Метод наложенияСредняя

Используйте метод наложения, чтобы найти ток I_R2 через R₂ в направлении стрелки.

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

8.Метод наложенияСложная

Линейная резистивная цепь содержит три независимых источника: V₁, V₂ и I_s. Ток I через нагрузку измерен три раза. При номинальных значениях всех источников I = 16,5 mA. Если V₁ удвоить, а два других оставить без изменений, I = 28 mA. Если изменить направление I_s на противоположное, а два других оставить без изменений, I = 25,5 mA. Найдите ток нагрузки I, если V₂ отключён, а V₁ и I_s имеют номинальные значения.

номинальные значения: I = 16,5 mA2·V₁: I = 28 mA−I_s: I = 25,5 mA

I = mA

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = 0,3 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −1,8 VV₂ = −0,9 VR₁ = 100 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

i(0) = 1 AR = 100 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 12 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 5 Vt = 200 ms

v_C = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 7,615 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_eq = R₁ + 4,615 = 3 + 4,615 = 7,615 Ω

Ответ

R_eq = 7,615 Ω

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,1684 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 8,571 Ω

R₃ + 8,571 = 18,57 Ω

R₂ ∥ 18,57 = 10,66 Ω

R_eq = R₁ + 10,66 = 2 + 10,66 = 12,66 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/12,66 = 0,3951 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3951·2 = 4,21 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,21/25 = 0,1684 A

Ответ

I_R2 = 0,1684 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: V_B = 5,5 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

V_B = V_A + V_s = V_A + 3

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

Решите

V_A/2 + (V_A + 3)/2 = 4

V_A = (4 − 3/2)/(1/2 + 1/2) = 2,5 V

V_B = 2,5 + 3 = 5,5 V

Ответ

V_B = 5,5 V

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: V_B = 12,75 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V₁ = 5 V, V₂ = 5 V). Неизвестные: V_A, V_B.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 5)/4 + (V_A − V_B)/15 = 0

0,3667·V_A − 0,06667·V_B = 1,25

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/15 + (V_B − 5)/8 = 2,5

−0,06667·V_A + 0,275·V_B = 3,125

Решите

Δ = (0,3667)(0,275) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,09639

V_A = Δ₁/Δ = 0,5521/0,09639 = 5,728 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,229/0,09639 = 12,75 V

Ответ

V_B = 12,75 V

5.Метод контурных токов

Ответ: V_R1 = 2,2 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 10

16·I₁ − 8·I₂ = 10

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−12)

−8·I₁ + 14·I₂ = −12

Решите

Δ = (16)(14) − (−8)(−8) = 160

I₁ = Δ₁/Δ = 44/160 = 0,275 A

I₂ = Δ₂/Δ = −112/160 = −0,7 A

Ответ

I_R1 = I₁ = 0,275 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0,275·8 = 2,2 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I₃ = −0,5077 A

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 36

24·I₁ − 12·I₂ = 36

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 46·I₂ − 30·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−30)

−30·I₂ + 55·I₃ = −30

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 31200

I₁ = Δ₁/Δ = 47880/31200 = 1,535 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2160/31200 = 0,06923 A

I₃ = Δ₃/Δ = −15840/31200 = −0,5077 A

Ответ

I₃ = −0,5077 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: I_R2 = 0,2931 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Случай 1 · действует только V₁

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R₃+R₄ = 6+2 = 8 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

V_A = 10·5,714/(15+5,714) = 2,759 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2,759·2/8 = 0,6897 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (2,759 − 0)/20 = 0,1379 A

Случай 2 · действует только I_s

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R₁ ∥ R₂ = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 2 ∥ 14,57 = 1,759 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·1,759 = 5,276 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 5,276·8,571/14,57 = 3,103 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (3,103 − 0)/20 = 0,1552 A

Сложите составляющие

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 0,1379 + 0,1552 = 0,2931 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

8.Метод наложения

Ответ: I = 7 mA

Записываем измерения через вклады

Каждый вклад пропорционален своему источнику.

I₁ + I₂ + I₃ = 16,5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 28

I₁ + I₂ − I₃ = 25,5

Находим вклады

I₁ = 28 − 16,5 = 11,5 mA

I₃ = (16,5 − 25,5)/2 = −4,5 mA

I₂ = 16,5 − 11,5 − (−4,5) = 9,5 mA

Отключаем V₂

I = I₁ + I₃ = 11,5 + (−4,5) = 7 mA

Ответ

I = 7 mA

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,4167 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 12 = 15,16 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·4/(15+4) = 6,316 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 6,316/15,16 = 0,4167 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = −2,705 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,714 + 3 = 8,714 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,571 + (−3)·5,714 = −14,57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −14,57 + (−3)·3 = −23,57 V

Эквивалент Нортона

I_N = V_th/R_th = −23,57/8,714 = −2,705 A

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 6,683 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = 0,3 V

I = V₋/R₁ = 0,3/4,7 = 0,06383 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 0,3 + 0,06383·100 = 6,683 V

Ответ

V_out = 6,683 V

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,05891 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,8/100 = −0,018 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,9/22 = −0,04091 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,05891 mA

Ответ

I_f = −0,05891 mA

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,103 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

Убывание тока

i(t) = 1·e^−5/2,2 = 0,103 A

Ответ

i = 0,103 A

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,169 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 12 + (5 − 12)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(200) = 12 + (−7)·e^−200/220,9 = 9,169 V

Ответ

v_C = 9,169 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Образуем супер-узел

Решите

Ответ

Определите узлы

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Случай 1 · действует только V1

Случай 2 · действует только Is

Сложите составляющие

Записываем измерения через вклады

Находим вклады

Отключаем V₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Инвертирующий вход повторяет вход

Выходное напряжение

Ответ

Входные токи

Ответ

Постоянная времени

Убывание тока

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение в заданный момент

Ответ

Случай 1 · действует только V₁

Случай 2 · действует только I_s

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода