Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт V_B − V_A = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение V_A (относительно земли).

I_s = 2,5 AV_s = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 Ω

V_A = V

4.Метод узловых потенциаловСложная

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток I_R1 через R₁ в направлении стрелки.

V₁ = 36 VI_s = 0,5 AV₂ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₂ (по часовой стрелке).

V₁ = 18 VV₂ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 Ω

I₂ = A

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₂ (по часовой стрелке).

V₁ = 36 VV₂ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 Ω

I₂ = A

7.Метод наложенияСредняя

Найдите значение источника тока I_s (направление как на схеме), при котором ток I_R3 через R₃ равен нулю.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_s = A

8.Метод наложенияСложная

Линейная резистивная цепь содержит три независимых источника: V₁, V₂ и I_s. Ток I через нагрузку измерен три раза. При номинальных значениях всех источников I = 7 mA. Если V₁ удвоить, а два других оставить без изменений, I = 13 mA. Если изменить направление I_s на противоположное, а два других оставить без изменений, I = 10 mA. Найдите ток нагрузки I, если V₂ отключён, а V₁ и I_s имеют номинальные значения.

номинальные значения: I = 7 mA2·V₁: I = 13 mA−I_s: I = 10 mA

I = mA

9.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 10 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 25 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На инвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала V_in,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R₁ = 2 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −0,1 VV₂ = 0,1 VR₁ = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 4,5 V? Найдите t.

V_s = 5 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 29,38 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 20 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω

R_eq = R₁ + 9,375 = 20 + 9,375 = 29,38 Ω

Ответ

R_eq = 29,38 Ω

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,2067 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,438 Ω

R₃ + 3,438 = 6,438 Ω

R₂ ∥ 6,438 = 4,19 Ω

R_eq = R₁ + 4,19 = 20 + 4,19 = 24,19 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/24,19 = 0,2067 A

Ответ

I_R1 = 0,2067 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: V_A = 2 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

V_B = V_A + V_s = V_A + 10

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

Решите

V_A/2 + (V_A + 10)/8 = 2,5

V_A = (2,5 − 10/8)/(1/2 + 1/8) = 2 V

V_B = 2 + 10 = 12 V

Ответ

V_A = 2 V

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: I_R1 = 4,458 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V₁ = 36 V, V₂ = −5 V). Неизвестные: V_A, V_B.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 36)/4 + (V_A − V_B)/10 = 0

0,5167·V_A − 0,1·V_B = 9

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/10 + (V_B − (−5))/5 = 0,5

−0,1·V_A + 0,34·V_B = −0,5

Решите

Δ = (0,5167)(0,34) − (−0,1)(−0,1) = 0,1657

V_A = Δ₁/Δ = 3,01/0,1657 = 18,17 V

V_B = Δ₂/Δ = 0,6417/0,1657 = 3,873 V

Ответ

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (36 − 18,17)/4 = 4,458 A

5.Метод контурных токов

Ответ: I₂ = 1,111 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 18

18·I₁ − 15·I₂ = 18

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−10)

−15·I₁ + 17·I₂ = −10

Решите

Δ = (18)(17) − (−15)(−15) = 81

I₁ = Δ₁/Δ = 156/81 = 1,926 A

I₂ = Δ₂/Δ = 90/81 = 1,111 A

Ответ

I₂ = 1,111 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I₂ = 0,6405 A

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 36

25·I₁ − 15·I₂ = 36

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 53·I₂ − 30·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−10)

−30·I₂ + 42·I₃ = −10

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 23700

I₁ = Δ₁/Δ = 43236/23700 = 1,824 A

I₂ = Δ₂/Δ = 15180/23700 = 0,6405 A

I₃ = Δ₃/Δ = 5200/23700 = 0,2194 A

Ответ

I₂ = 0,6405 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: I_s = 3,333 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Случай 1 · действует только V₁

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R₃+R₄ = 10+3 = 13 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·13/(10+13) = 5,652 Ω

V_A = 12·5,652/(2+5,652) = 8,864 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 8,864·3/13 = 2,045 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (8,864 − 2,045)/10 = 0,6818 A

Случай 2 · действует только I_s

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ ∥ R₂ подключены между A и землёй. Iₛ делится в узле B между R₄ и ветвью R₃ + R₁∥R₂; часть через R₃ течёт от B к A, против стрелки.

R₁ ∥ R₂ = 1,667 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·3/14,67 = −0,2045·I_s

Приравниваем сумму к нулю

I_R3′ + I_R3″ = 0,6818 − 0,2045·I_s = 0

I_s = 0,6818/0,2045 = 3,333 A

Ответ

I_s = 3,333 A

8.Метод наложения

Ответ: I = 4,5 mA

Записываем измерения через вклады

Каждый вклад пропорционален своему источнику.

I₁ + I₂ + I₃ = 7

2·I₁ + I₂ + I₃ = 13

I₁ + I₂ − I₃ = 10

Находим вклады

I₁ = 13 − 7 = 6 mA

I₃ = (7 − 10)/2 = −1,5 mA

I₂ = 7 − 6 − (−1,5) = 2,5 mA

Отключаем V₂

I = I₁ + I₃ = 6 + (−1,5) = 4,5 mA

Ответ

I = 4,5 mA

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,06122 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·2/(8+2) = 1,6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,6 + 8 = 9,6 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·2/(8+2) = 1,2 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 1,2/(9,6 + 10) = 0,06122 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,7368 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 10 = 13 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + 1·3 = 18 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18 + 1·10 = 28 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 28/(13 + 25) = 0,7368 A

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_in,max = 0,5957 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

|A_v| = R_f/R₁ = 47/2 = 23,5

Наибольший вход до ограничения

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/23,5 = 0,5957 V

Ответ

V_in,max = 0,5957 V

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,5455 V

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −0,1/10 = −0,01 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,1/22 = 0,004545 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,005455 mA

Выходное напряжение

V_out = −R_f·I_f = −100·(−0,005455) = 0,5455 V

Ответ

V_out = 0,5455 V

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1648 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0,3333 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3333·(1 − e^−1/1,467) = 0,1648 A

Ответ

i = 0,1648 A

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 69,31 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 5 + (4 − 5)·e^−t/τ

Выразите время

4,5 = 5 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4,5 − 5)/(4 − 5) = 0,5

t = τ·ln((4 − 5)/(4,5 − 5)) = 100·ln(2) = 69,31 ms

Ответ

t = 69,31 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Образуем супер-узел

Решите

Ответ

Определите узлы

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Случай 1 · действует только V1

Случай 2 · действует только Is

Приравниваем сумму к нулю

Ответ

Записываем измерения через вклады

Находим вклады

Отключаем V₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Коэффициент усиления

Наибольший вход до ограничения

Ответ

Входные токи

Выходное напряжение

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Случай 1 · действует только V₁

Случай 2 · действует только I_s

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода