Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,1·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения Vs и один источник тока Is. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при Vs = 2 V и Is = 8 mA I = 7,2 mA; при Vs = 15 V и Is = 3 mA I = 31,2 mA. Найдите ток нагрузки I при Vs = 2 V и Is = 3 mA.
2 V, 8 mA → 7,2 mA15 V, 3 mA → 31,2 mAVs = 2 V, Is = 3 mA
I = mA
8.Метод наложенияСложная
Используйте метод наложения, чтобы найти мощность PR1, потребляемую R1.
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 24 VIs = 4 AR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
Подберите резистор обратной связи Rf, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 20.
R1 = 10 kΩAv = 20
Rf = kΩ
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
V1 = 1,3 VV2 = −1,5 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.
Vs = 6 VR = 20 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.
Vs = 9 VR1 = 47 ΩR2 = 5 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,5172 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 2 + 3 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 12·5/(12+5) = 3,529 Ω
Req = R1 + 3,529 = 5 + 3,529 = 8,529 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/8,529 = 1,759 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,759·5 = 6,207 V
IR2 = VA/R2 = 6,207/12 = 0,5172 A
Ответ
IR2 = 0,5172 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,4891 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 8 + 8 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 4,364 Ω
R3 + 4,364 = 8,364 Ω
R2 ∥ 8,364 = 6,267 Ω
Req = R1 + 6,267 = 6 + 6,267 = 12,27 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/12,27 = 0,4891 A
Ответ
IR1 = 0,4891 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = 4,167 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 15)/6 + (VA − (−30))/6 + (VA − 30)/6 = 0
Находим VA
VA = (15/6 + (−30)/6 + 30/6) / (1/6 + 1/6 + 1/6) = 2,5/0,5 = 5 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (30 − VA)/R3 = (30 − 5)/6 = 4,167 A
Ответ
I3 = 4,167 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR4 = 0,6 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,4333·VA − 0,3333·VB = 0,6
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,1·VA
−0,4333·VA + 0,5·VB = 0
Решите
Δ = (0,4333)(0,5) − (−0,3333)(−0,4333) = 0,07222
VA = Δ1/Δ = 0,3/0,07222 = 4,154 V
VB = Δ2/Δ = 0,26/0,07222 = 3,6 V
Ток через R₄
IR4 = VB/R4 = 3,6/6 = 0,6 A
Ответ
IR4 = 0,6 A
5.Метод контурных токов
Ответ: I2 = −0,8913 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
20·I1 + 6(I1 − I2) = 24
26·I1 − 6·I2 = 24
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
6·I2 + 6(I2 − I1) = (−15)
−6·I1 + 12·I2 = −15
Решите
Δ = (26)(12) − (−6)(−6) = 276
I1 = Δ1/Δ = 198/276 = 0,7174 A
I2 = Δ2/Δ = −246/276 = −0,8913 A
Ответ
I2 = −0,8913 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR1 = 1,219 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
2·I1 + 6(I1 − I2) = 9
8·I1 − 6·I2 = 9
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
30·I2 + 6(I2 − I1) + 12(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 48·I2 − 12·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 12(I3 − I2) = (−6)
−12·I2 + 42·I3 = −6
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 13464
I1 = Δ1/Δ = 16416/13464 = 1,219 A
I2 = Δ2/Δ = 1692/13464 = 0,1257 A
I3 = Δ3/Δ = −1440/13464 = −0,107 A
Ответ
IR1 = I1 = 1,219 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: I = 5,2 mA
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Записываем отклик как сумму вкладов
Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.
I = k₁·Vs + k₂·Is
2·k₁ + 8·k₂ = 7,2
15·k₁ + 3·k₂ = 31,2
Находим константы
Δ = (2)(3) − (8)(15) = −114
k₁ = Δ1/Δ = −228/−114 = 2
k₂ = Δ2/Δ = −45,6/−114 = 0,4
k₁ = 2 mA/V, k₂ = 0,4
Предсказываем новый ток
I = 2·2 + 0,4·3 = 5,2 mA
Ответ
I = 5,2 mA
8.Метод наложения
Ответ: PR1 = 0,9187 W
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 6 ∥ 15 = 4,286 Ω
VA = 18·4,286/(30+4,286) = 2,25 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,25·3/15 = 0,45 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (18 − 2,25)/30 = 0,525 A
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 5 Ω, поэтому левый путь — R2+5 = 17 Ω
Req = R4 ∥ 17 = 2,55 Ω
VB = Is·Req = 6·2,55 = 15,3 V
VA = VB·5/17 = 4,5 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 4,5)/30 = −0,15 A
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 30·6/(30+6) = 5 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 24·17/20 = 20,4 V
Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.
PR1 = IR1²·R1 = 0,175²·30 = 0,9187 W
Ответ
PR1 = 0,9187 W
Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 10,14 W, что неверно.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,1176 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 6 = 8,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·3/(15+3) = 1 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 1/8,5 = 0,1176 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = −18 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 3 = 5,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + (−4)·2,5 = −6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6 + (−4)·3 = −18 V
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 190 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (20 − 1)·10 = 190 kΩ
Ответ
Rf = 190 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = 2,74 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = 1,3/10 = 0,13 mA
I2 = V2/R2 = −1,5/1 = −1,5 mA
If = I1 + I2 = −1,37 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −2·(−1,37) = 2,74 V
Ответ
Vout = 2,74 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W(∞) = 4,5 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0,3 A
Запасённая энергия
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0,3² = 4,5 mJ
Ответ
W(∞) = 4,5 mJ
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,1763 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.