Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Методом узловых потенциалов найдите мощность P_Is, отдаваемую источником тока I_s.

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

P_Is = W

4.Метод узловых потенциаловСложная

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у A, поэтому он задаёт V_A − V_B = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток I_x через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.

V₁ = 15 VI_s = 1 AV_s = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

I_x = A

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение V_R3 на R₃ с указанной полярностью.

V₁ = 18 VV₂ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

V_R3 = V

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток I_R4 через R₄ в направлении стрелки.

V₁ = 12 VV₂ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 Ω

I_R4 = A

7.Метод наложенияСредняя

Используйте метод наложения, чтобы найти мощность P_R1, потребляемую R₁.

V₁ = 30 VI_s = 1,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

P_R1 = W

8.Метод наложенияСложная

Используйте метод наложения, чтобы найти ток I_R2 через R₂ в направлении стрелки.

V₁ = 24 VI_s = 0,5 AV₂ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 12 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 18 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 12 Ω

P_L = W

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −2,5 VV₂ = 1,5 VR₁ = R₃ = 22 kΩR₂ = R₄ = 2 kΩ

V_out = V

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение V_in = 2 V. Найдите выходное напряжение V_out при t = 2 ms.

V_in = 2 VR = 4,7 kΩC = 0,1 µFV_sat = ±12 Vt = 2 ms

V_out = V

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

V_s = 30 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 33 µF

τ = ms

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 5,5 V? Найдите t.

V_s = 6 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,9312 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω

R_eq = R₁ + 5,739 = 5 + 5,739 = 10,74 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10,74 = 0,9312 A

Ответ

I_R1 = 0,9312 A

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,7669 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 10 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 4,286 Ω

R₃ + 4,286 = 24,29 Ω

R₂ ∥ 24,29 = 7,083 Ω

R_eq = R₁ + 7,083 = 4 + 7,083 = 11,08 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,08 = 1,083 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,083·4 = 7,669 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,669/10 = 0,7669 A

Ответ

I_R2 = 0,7669 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: P_Is = 17,63 W

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 12)/6 + (V_A − V_B)/15 = 0

0,4833·V_A − 0,06667·V_B = 2

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/15 = 3

−0,06667·V_A + 0,5667·V_B = 3

Решите

Δ = (0,4833)(0,5667) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,2694

V_A = Δ₁/Δ = 1,333/0,2694 = 4,948 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,583/0,2694 = 5,876 V

Мощность, отдаваемая источником тока

Источник направляет ток Iₛ вверх в узел B, от земли (0 V) к V_B. Источник, ток которого выходит из его вывода +, отдаёт мощность P = V·I.

P_Is = V_B·I_s = 5,876·3 = 17,63 W

Ответ

P_Is = 17,63 W

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: I_x = −1,811 A

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

V_B = V_A − 15

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

Решите

(V_A − 15)/6 + V_A/5 + (V_A − 15)/4 = 1

V_A·(1/6 + 1/5 + 1/4) = 1 + 15/6 + 15/4 = 7,25

V_A = 7,25/0,6167 = 11,76 V

V_B = −3,243 V

Ток через источник напряжения

ЗТК только для узла A: ток, приходящий через R₁, уходит через R₂ и через источник напряжения.

I_R1 = (15 − 11,76)/6 = 0,5405 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 0,5405 − 11,76/5 = −1,811 A

Ответ

I_x = −1,811 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

5.Метод контурных токов

Ответ: V_R3 = 8,615 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 18

9·I₁ − 4·I₂ = 18

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−10)

−4·I₁ + 9·I₂ = −10

Решите

Δ = (9)(9) − (−4)(−4) = 65

I₁ = Δ₁/Δ = 122/65 = 1,877 A

I₂ = Δ₂/Δ = −18/65 = −0,2769 A

Ответ

I_R3 = I₁ − I₂ = 2,154 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 2,154·4 = 8,615 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I_R4 = 0,438 A

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 12

19·I₁ − 15·I₂ = 12

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 22·I₂ − 5·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−5)

−5·I₂ + 15·I₃ = −5

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 2420

I₁ = Δ₁/Δ = 3285/2420 = 1,357 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2225/2420 = 0,9194 A

I₃ = Δ₃/Δ = −65/2420 = −0,02686 A

Ответ

I_R4 = I₁ − I₂ = 0,438 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: P_R1 = 45 W

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Случай 1 · действует только V₁

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R₃+R₄ = 10+10 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·20/(5+20) = 4 Ω

V_A = 30·4/(5+4) = 13,33 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 13,33·10/20 = 6,667 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 13,33)/5 = 3,333 A

Случай 2 · действует только I_s

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R₁ ∥ R₂ = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 12,5 = 5,556 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1,5·5,556 = 8,333 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 8,333·2,5/12,5 = 1,667 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 1,667)/5 = −0,3333 A

Складываем вклады токов

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 3,333 + (−0,3333) = 3 A

Мощность в резисторе

Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.

P_R1 = I_R1²·R₁ = 3²·5 = 45 W

Ответ

P_R1 = 45 W

Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 56,11 W, что неверно.

8.Метод наложения

Ответ: I_R2 = −0,4086 A

Случай 1 · действует только V₁

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 2 ∥ 32 = 1,882 Ω

V_A = 24·1,882/(20+1,882) = 2,065 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2,065·20/32 = 1,29 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (2,065 − 1,29)/12 = 0,06452 A

Случай 2 · действует только I_s

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 1,818 Ω, поэтому левый путь — R₂+1,818 = 13,82 Ω

R_eq = R₄ ∥ 13,82 = 8,172 Ω

V_B = I_s·R_eq = 0,5·8,172 = 4,086 V

V_A = V_B·1,818/13,82 = 0,5376 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (0,5376 − 4,086)/12 = −0,2957 A

Случай 3 · действует только V₂

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R₁ ∥ R₃ = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 6·13,82/33,82 = 2,452 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 2,452·1,818/13,82 = 0,3226 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (0,3226 − 2,452)/12 = −0,1774 A

Сложите составляющие

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0,06452 + (−0,2957) + (−0,1774) = −0,4086 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,8621 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,444 + 2 = 6,444 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·10/(8+10) = 5,556 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 5,556/6,444 = 0,8621 A

10.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 33,05 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 25·4/(25+4) = 3,448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,448 + 4 = 7,448 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,483 + 4·3,448 = 16,28 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16,28 + 4·4 = 32,28 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 32,28/(7,448 + 12) = 1,66 A

P_L = I_L²·R_L = 1,66²·12 = 33,05 W

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,3636 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,5·2/(22 + 2) = 0,125 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(−2,5 − 0,125)/22 = (0,125 − V_out)/2

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (2/22)·(1,5 − (−2,5)) = 0,3636 V

Ответ

V_out = 0,3636 V

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −8,511 V

Входной ток и скорость нарастания

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

RC = 4,7 kΩ · 0,1 µF = 0,47 ms

скорость нарастания = −V_in/(RC) = −2/0,47 = −4,255 V/ms

Выходное напряжение в заданный момент

Идеальное значение лежит в пределах ±V_sat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.

V_out = −V_in·t/(RC) = −2·2/0,47 = −8,511 V

Ответ

V_out = −8,511 V

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 91,71 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ

v_C(∞) = 30·4,7/(6,8 + 4,7) = 12,26 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 2,779·33 = 91,71 ms

Ответ

τ = 91,71 ms

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 50,32 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 6 + (5 − 6)·e^−t/τ

Выразите время

5,5 = 6 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5,5 − 6)/(5 − 6) = 0,5

t = τ·ln((5 − 6)/(5,5 − 6)) = 72,6·ln(2) = 50,32 ms

Ответ

t = 50,32 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Мощность, отдаваемая источником тока

Ответ

Образуем супер-узел

Решите

Ток через источник напряжения

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Случай 1 · действует только V1

Случай 2 · действует только Is

Складываем вклады токов

Мощность в резисторе

Ответ

Случай 1 · действует только V1

Случай 2 · действует только Is

Случай 3 · действует только V2

Сложите составляющие

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Напряжение на входах

ЗТК на инвертирующем входе

Ответ

Входной ток и скорость нарастания

Выходное напряжение в заданный момент

Ответ

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Постоянная времени

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Случай 1 · действует только V₁

Случай 2 · действует только I_s

Случай 1 · действует только V₁

Случай 2 · действует только I_s

Случай 3 · действует только V₂

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода