Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,05·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
Подберите резистор обратной связи Rf, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 11.
R1 = 4,7 kΩAv = 11
Rf = kΩ
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение Vin = 2,7 V. Найдите выходное напряжение Vout при t = 20 ms.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.
Vs = 10 VR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 1000 ms.
Vs = 10 VR1 = 6,8 kΩR2 = 10 kΩC = 220 µFt = 1000 ms
i2 = mA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 2,773 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω
Req = R1 + 2,654 = 6 + 2,654 = 8,654 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/8,654 = 2,773 A
Ответ
IR1 = 2,773 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,9812 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 2,4 Ω
R3 + 2,4 = 27,4 Ω
R2 ∥ 27,4 = 6,192 Ω
Req = R1 + 6,192 = 4 + 6,192 = 10,19 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/10,19 = 0,9812 A
Ответ
IR1 = 0,9812 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 11,89 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 15)/6 + (VA − VB)/10 = 0
0,7667·VA − 0,1·VB = 2,5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/10 = 1,5
−0,1·VA + 0,1667·VB = 1,5
Решите
Δ = (0,7667)(0,1667) − (−0,1)(−0,1) = 0,1178
VA = Δ1/Δ = 0,5667/0,1178 = 4,811 V
VB = Δ2/Δ = 1,4/0,1178 = 11,89 V
Ответ
VB = 11,89 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 2,371 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,2417·VA − 0,06667·VB = 0,45
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
15·I1 + 3(I1 − I2) = 6
18·I1 − 3·I2 = 6
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
10·I2 + 3(I2 − I1) = (−30)
−3·I1 + 13·I2 = −30
Решите
Δ = (18)(13) − (−3)(−3) = 225
I1 = Δ1/Δ = −12/225 = −0,05333 A
I2 = Δ2/Δ = −522/225 = −2,32 A
Ответ
I1 = −0,05333 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: VR3 = −17,81 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
25·I1 + 5(I1 − I2) = 15
30·I1 − 5·I2 = 15
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
5·I2 + 5(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 30·I2 − 20·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
25·I3 + 20(I3 − I2) = (−24)
−20·I2 + 45·I3 = −24
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 27375
I1 = Δ1/Δ = 11850/27375 = 0,4329 A
I2 = Δ2/Δ = −11025/27375 = −0,4027 A
I3 = Δ3/Δ = −19500/27375 = −0,7123 A
Ответ
IR3 = I3 = −0,7123 A
VR3 = IR3·R3 = −0,7123·25 = −17,81 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: IR1 = 3,28 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 10+6 = 16 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω
VA = 24·7,742/(4+7,742) = 15,82 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 15,82·6/16 = 5,934 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (24 − 15,82)/4 = 2,044 A
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 6 ∥ 13,16 = 4,121 Ω
VB = Is·Req = (−5)·4,121 = −20,6 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −20,6·3,158/13,16 = −4,945 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − −4,945)/4 = 1,236 A
Сложите составляющие
IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 2,044 + 1,236 = 3,28 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
8.Метод наложения
Ответ: V2 = 11,28 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 6 ∥ 26 = 4,875 Ω
VA = 18·4,875/(25+4,875) = 2,937 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,937·20/26 = 2,259 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 4,839 Ω, поэтому левый путь — R2+4,839 = 10,84 Ω
Req = R4 ∥ 10,84 = 7,029 Ω
VB = −Is·Req = −1,5·7,029 = −10,54 V
VA = VB·4,839/10,84 = −4,707 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 4,839 Ω
VA‴ = V2·4,839/(20 + 6 + 4,839) = 0,1569·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·5/(4+5) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 3 = 5,222 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·5/(4+5) = 5 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 5/(5,222 + 10) = 0,3285 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 9,028 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 15 = 21,67 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,333 + 1,5·6,667 = 13,33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,33 + 1,5·15 = 35,83 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 35,83/(21,67 + 5) = 1,344 A
PL = IL²·RL = 1,344²·5 = 9,028 W
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 47 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (11 − 1)·4,7 = 47 kΩ
Ответ
Rf = 47 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −2,455 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входной ток и скорость нарастания
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
RC = 100 kΩ · 0,22 µF = 22 ms
скорость нарастания = −Vin/(RC) = −2,7/22 = −0,1227 V/ms
Выходное напряжение в заданный момент
Идеальное значение лежит в пределах ±Vsat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.
Vout = −Vin·t/(RC) = −2,7·20/22 = −2,455 V
Ответ
Vout = −2,455 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,1 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.