Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение V_A (относительно земли).

V₁ = 10 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

V_A = V

4.Метод узловых потенциаловСложная

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение V_A (относительно земли).

V₁ = 15 VI_s = 2 AV₂ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 Ω

V_A = V

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₂ (по часовой стрелке).

V₁ = 9 VV₂ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток I_R2 через R₂ в направлении стрелки.

V₁ = 18 VV₂ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 30 Ω

I_R2 = A

7.Метод наложенияСредняя

Используйте метод наложения, чтобы найти ток I_R1 через R₁ в направлении стрелки.

V₁ = 15 VI_s = 1,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

8.Метод наложенияСложная

Линейная резистивная цепь содержит три независимых источника: V₁, V₂ и I_s. Ток I через нагрузку измерен три раза. При номинальных значениях всех источников I = −5 mA. Если V₁ удвоить, а два других оставить без изменений, I = −7 mA. Если изменить направление I_s на противоположное, а два других оставить без изменений, I = 11 mA. Найдите ток нагрузки I, если V₂ отключён, а V₁ и I_s имеют номинальные значения.

номинальные значения: I = −5 mA2·V₁: I = −7 mA−I_s: I = 11 mA

I = mA

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Подберите резистор обратной связи R_f, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 6.

R₁ = 1 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение V_in = 0,6 V. Найдите выходное напряжение V_out.

R₁ = 47 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = 0,6 V

V_out = V

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_R = V

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 12,3 V? Найдите t.

V_s = 9 VR = 6,8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 25,48 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10,48 Ω

R_eq = R₁ + 10,48 = 15 + 10,48 = 25,48 Ω

Ответ

R_eq = 25,48 Ω

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,8692 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5,143 Ω

R₃ + 5,143 = 20,14 Ω

R₂ ∥ 20,14 = 2,611 Ω

R_eq = R₁ + 2,611 = 25 + 2,611 = 27,61 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/27,61 = 0,8692 A

Ответ

I_R1 = 0,8692 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: V_A = 7,552 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V₁ = 10 V). Неизвестные: V_A, V_B.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 10)/2 + (V_A − V_B)/5 = 0

0,8667·V_A − 0,2·V_B = 5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/5 = 1

−0,2·V_A + 0,325·V_B = 1

Решите

Δ = (0,8667)(0,325) − (−0,2)(−0,2) = 0,2417

V_A = Δ₁/Δ = 1,825/0,2417 = 7,552 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,867/0,2417 = 7,724 V

Ответ

V_A = 7,552 V

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: V_A = 8,478 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V₁ = 15 V, V₂ = 10 V). Неизвестные: V_A, V_B.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/10 + (V_A − 15)/8 + (V_A − V_B)/25 = 0

0,265·V_A − 0,04·V_B = 1,875

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/25 + (V_B − 10)/2 = 2

−0,04·V_A + 0,79·V_B = 7

Решите

Δ = (0,265)(0,79) − (−0,04)(−0,04) = 0,2078

V_A = Δ₁/Δ = 1,761/0,2078 = 8,478 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,93/0,2078 = 9,29 V

Ответ

V_A = 8,478 V

5.Метод контурных токов

Ответ: I₂ = −1,113 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 9

16·I₁ − 6·I₂ = 9

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−12)

−6·I₁ + 10·I₂ = −12

Решите

Δ = (16)(10) − (−6)(−6) = 124

I₁ = Δ₁/Δ = 18/124 = 0,1452 A

I₂ = Δ₂/Δ = −138/124 = −1,113 A

Ответ

I₂ = −1,113 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I_R2 = −0,6204 A

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 18

42·I₁ − 12·I₂ = 18

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 57·I₂ − 30·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−30)

−30·I₂ + 38·I₃ = −30

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 47700

I₁ = Δ₁/Δ = 11988/47700 = 0,2513 A

I₂ = Δ₂/Δ = −29592/47700 = −0,6204 A

I₃ = Δ₃/Δ = −61020/47700 = −1,279 A

Ответ

I_R2 = I₂ = −0,6204 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: I_R1 = 1,941 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Случай 1 · действует только V₁

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R₃+R₄ = 6+12 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω

V_A = 15·1,8/(5+1,8) = 3,971 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3,971·12/18 = 2,647 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (15 − 3,971)/5 = 2,206 A

Случай 2 · действует только I_s

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 7,429 = 4,588 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1,5·4,588 = 6,882 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6,882·1,429/7,429 = 1,324 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 1,324)/5 = −0,2647 A

Сложите составляющие

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 2,206 + (−0,2647) = 1,941 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

8.Метод наложения

Ответ: I = −10 mA

Записываем измерения через вклады

Каждый вклад пропорционален своему источнику.

I₁ + I₂ + I₃ = −5

2·I₁ + I₂ + I₃ = −7

I₁ + I₂ − I₃ = 11

Находим вклады

I₁ = −7 − (−5) = −2 mA

I₃ = (−5 − 11)/2 = −8 mA

I₂ = −5 − (−2) − (−8) = 5 mA

Отключаем V₂

I = I₁ + I₃ = (−2) + (−8) = −10 mA

Ответ

I = −10 mA

9.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 0,9091 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 12 = 13,82 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·2/(20+2) = 0,9091 V

10.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 26 V

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 6 = 10 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 2·4 = 14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14 + 2·6 = 26 V

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: R_f = 5 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = V_in, а ток через R₁ течёт и через R_f, поэтому V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·1 = 5 kΩ

Ответ

R_f = 5 kΩ

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −1,557 V

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/47 = −2,128

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/100 = 1,22

Каскад за каскадом

V₁ = −2,128·0,6 = −1,277 V

V_out = 1,22·(−1,277) = −1,557 V

Ответ

V_out = −1,557 V

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 18,96 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

Убывание тока

i(t) = 2,5·e^−1/1,467 = 1,264 A

v_R = R·i = 15·1,264 = 18,96 V

Ответ

v_R = 18,96 V

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 270,2 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 9 + (20 − 9)·e^−t/τ

Выразите время

12,3 = 9 + (11)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,3 − 9)/(20 − 9) = 0,3

t = τ·ln((20 − 9)/(12,3 − 9)) = 224,4·ln(3,333) = 270,2 ms

Ответ

t = 270,2 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Определите узлы

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Ответ

Определите узлы

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Случай 1 · действует только V1

Случай 2 · действует только Is

Сложите составляющие

Записываем измерения через вклады

Находим вклады

Отключаем V₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

Ответ

Коэффициент усиления каждого каскада

Каскад за каскадом

Ответ

Постоянная времени

Убывание тока

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Случай 1 · действует только V₁

Случай 2 · действует только I_s

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода