Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 75 ms.
Vs = 24 VR1 = 3,3 kΩR2 = 2,2 kΩC = 33 µFt = 75 ms
vC = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 1000 ms.
Vs = 12 VR = 6,8 kΩC = 220 µFvC(0) = 30 Vt = 1000 ms
vC = V
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 6,69 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 6 + 20 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 3·26/(3+26) = 2,69 Ω
Req = R1 + 2,69 = 4 + 2,69 = 6,69 Ω
Ответ
Req = 6,69 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,1693 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 10 + 2 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 5,455 Ω
R3 + 5,455 = 7,455 Ω
R2 ∥ 7,455 = 5,43 Ω
Req = R1 + 5,43 = 30 + 5,43 = 35,43 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/35,43 = 0,1693 A
Ответ
IR1 = 0,1693 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = 1,5 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − (−18))/12 + (VA − 10)/4 + (VA − 30)/15 = 0
Находим VA
VA = ((−18)/12 + 10/4 + 30/15) / (1/12 + 1/4 + 1/15) = 3/0,4 = 7,5 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (30 − VA)/R3 = (30 − 7,5)/15 = 1,5 A
Ответ
I3 = 1,5 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 17,4 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 18 V, V2 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/3 + (VA − 18)/12 + (VA − VB)/25 = 0
0,4567·VA − 0,04·VB = 1,5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/25 + (VB − VA)/25 + (VB − 18)/3 = 1
−0,04·VA + 0,4133·VB = 7
Решите
Δ = (0,4567)(0,4133) − (−0,04)(−0,04) = 0,1872
VA = Δ1/Δ = 0,9/0,1872 = 4,809 V
VB = Δ2/Δ = 3,257/0,1872 = 17,4 V
Ответ
VB = 17,4 V
5.Метод контурных токов
Ответ: VR1 = 8,036 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
20·I1 + 3(I1 − I2) = 12
23·I1 − 3·I2 = 12
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
12·I2 + 3(I2 − I1) = (−15)
−3·I1 + 15·I2 = −15
Решите
Δ = (23)(15) − (−3)(−3) = 336
I1 = Δ1/Δ = 135/336 = 0,4018 A
I2 = Δ2/Δ = −309/336 = −0,9196 A
Ответ
IR1 = I1 = 0,4018 A
VR1 = IR1·R1 = 0,4018·20 = 8,036 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: VR4 = 6,715 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
10·I1 + 15(I1 − I2) = 18
25·I1 − 15·I2 = 18
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
5·I2 + 15(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 23·I2 − 3·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 3(I3 − I2) = (−5)
−3·I2 + 7·I3 = −5
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 2225
I1 = Δ1/Δ = 2511/2225 = 1,129 A
I2 = Δ2/Δ = 1515/2225 = 0,6809 A
I3 = Δ3/Δ = −940/2225 = −0,4225 A
Ответ
IR4 = I1 − I2 = 0,4476 A
VR4 = IR4·R4 = 0,4476·15 = 6,715 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: VR4 = −0,3333 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 2+2 = 4 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 4·4/(4+4) = 2 Ω
VA = 18·2/(4+2) = 6 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6·2/4 = 3 V
VR4′ = VB − 0 = 3 − 0 = 3 V
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 2 ∥ 4 = 1,333 Ω
VB = Is·Req = (−2,5)·1,333 = −3,333 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −3,333·2/4 = −1,667 V
VR4″ = VB − 0 = −3,333 − 0 = −3,333 V
Сложите составляющие
VR4 = VR4′ + VR4″
VR4 = 3 + (−3,333) = −0,3333 V
Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.
8.Метод наложения
Ответ: V2 = 32 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 10 ∥ 31 = 7,561 Ω
VA = 24·7,561/(8+7,561) = 11,66 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 11,66·25/31 = 9,404 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, поэтому левый путь — R2+4,444 = 10,44 Ω
Req = R4 ∥ 10,44 = 7,367 Ω
VB = −Is·Req = −5·7,367 = −36,83 V
VA = VB·4,444/10,44 = −15,67 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 4,444 Ω
VA‴ = V2·4,444/(25 + 6 + 4,444) = 0,1254·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,429 + 15 = 16,43 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·5/(2+5) = 7,143 V
10.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 21,43 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,429 + 8 = 9,429 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,571 + 2·1,429 = 5,429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 5,429 + 2·8 = 21,43 V
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −5,63 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Инвертирующий вход повторяет вход
V₋ = V₊ = −1,8 V
I = V₋/R1 = −1,8/4,7 = −0,383 mA
Выходное напряжение
Ток через R₁ течёт и через Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −1,8 + (−0,383)·10 = −5,63 V
Ответ
Vout = −5,63 V
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −0,8088 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Напряжение на входе +
V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,7·1/(47 + 1) = 0,01458 V
Наложение двух входов
При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·2,2/(3,3 + 2,2) = 1,32 kΩ
vC(∞) = 24·2,2/(3,3 + 2,2) = 9,6 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 1,32·33 = 43,56 ms
Кривая заряда
vC(t) = 9,6·(1 − e−75/43,56) = 7,884 V
Ответ
vC = 7,884 V
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 21,23 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.