Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
10.Тевенин и НортонСложная
К a–b подключена нагрузка RL = 2 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.
V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩRL = 2 Ω
PL = W
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
Vin = 5 VRa = 22 kΩRb = 4,7 kΩR1 = 1 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R1, Rf1), за ним неинвертирующий (R2 на землю, Rf2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение Vin = −0,5 V. Найдите выходное напряжение Vout.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 75% конечного значения? Найдите t.
Vs = 20 VR = 22 ΩL = 22 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 6 V, ровно через 1000 ms после старта. При R = 4,7 kΩ найдите необходимую ёмкость C.
Vs = 12 VVth = 6 VT = 1000 msR = 4,7 kΩ
C = µF
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,4954 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 15·9/(15+9) = 5,625 Ω
Req = R1 + 5,625 = 8 + 5,625 = 13,63 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/13,63 = 1,321 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,321·8 = 7,431 V
IR2 = VA/R2 = 7,431/15 = 0,4954 A
Ответ
IR2 = 0,4954 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,698 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 4 + 6 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 5,455 Ω
R3 + 5,455 = 25,45 Ω
R2 ∥ 25,45 = 11,2 Ω
Req = R1 + 11,2 = 10 + 11,2 = 21,2 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 36/21,2 = 1,698 A
Ответ
IR1 = 1,698 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = −0,5 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 6)/2 + (VA − VB)/2 = 0
1,083·VA − 0,5·VB = 3
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/2 = 2
−0,5·VA + 0,6·VB = 2
Решите
Δ = (1,083)(0,6) − (−0,5)(−0,5) = 0,4
VA = Δ1/Δ = 2,8/0,4 = 7 V
VB = Δ2/Δ = 3,667/0,4 = 9,167 V
Ответ
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (6 − 7)/2 = −0,5 A
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Ix = −3,184 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + 10
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Решите
(VA − 6)/4 + VA/5 + (VA + 10)/25 = 4
VA·(1/4 + 1/5 + 1/25) = 4 + 6/4 − 10/25 = 5,1
VA = 5,1/0,49 = 10,41 V
VB = 20,41 V
Ток через источник напряжения
ЗТК только для узла A: ток, приходящий через R₁, уходит через R₂ и через источник напряжения.
IR1 = (6 − 10,41)/4 = −1,102 A
Ix = IR1 − VA/R2 = −1,102 − 10,41/5 = −3,184 A
Ответ
Ix = −3,184 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
5.Метод контурных токов
Ответ: I1 = −0,1875 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
2·I1 + 5(I1 − I2) = 9
7·I1 − 5·I2 = 9
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
10·I2 + 5(I2 − I1) = (−30)
−5·I1 + 15·I2 = −30
Решите
Δ = (7)(15) − (−5)(−5) = 80
I1 = Δ1/Δ = −15/80 = −0,1875 A
I2 = Δ2/Δ = −165/80 = −2,063 A
Ответ
I1 = −0,1875 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: I3 = −0,1209 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
20·I1 + 20(I1 − I2) = 15
40·I1 − 20·I2 = 15
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
8·I2 + 20(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−20·I1 + 36·I2 − 8·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
25·I3 + 8(I3 − I2) = (−6)
−8·I2 + 33·I3 = −6
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 31760
I1 = Δ1/Δ = 15900/31760 = 0,5006 A
I2 = Δ2/Δ = 7980/31760 = 0,2513 A
I3 = Δ3/Δ = −3840/31760 = −0,1209 A
Ответ
I3 = −0,1209 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: Is = 0,7407 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ ∥ R₂ подключены между A и землёй. Iₛ делится в узле B между R₄ и ветвью R₃ + R₁∥R₂; часть через R₃ течёт от B к A, против стрелки.
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 2 ∥ 9 = 1,636 Ω
VA = 12·1,636/(25+1,636) = 0,7372 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 0,7372·5/9 = 0,4096 V
IR3′ = (VA − 0)/R3 = (0,7372 − 0)/2 = 0,3686 A
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 1,852 Ω, поэтому левый путь — R2+1,852 = 5,852 Ω
Req = R4 ∥ 5,852 = 2,696 Ω
VB = Is·Req = 1·2,696 = 2,696 V
VA = VB·1,852/5,852 = 0,8532 V
IR3″ = (VA − 0)/R3 = (0,8532 − 0)/2 = 0,4266 A
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 25·2/(25+2) = 1,852 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 24·5,852/10,85 = 12,94 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 12,94·1,852/5,852 = 4,096 V
IR3‴ = (VA − 0)/R3 = (4,096 − 0)/2 = 2,048 A
Сложите составляющие
IR3 = IR3′ + IR3″ + IR3‴
IR3 = 0,3686 + 0,4266 + 2,048 = 2,843 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 3 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 6 = 10 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·6/(12+6) = 3 V
10.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 4,939 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·3/(6+3) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 10 = 12 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2 + (−2)·2 = −2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −2 + (−2)·10 = −22 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = −22/(12 + 2) = −1,571 A
PL = IL²·RL = −1,571²·2 = 4,939 W
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = 9,682 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления каждого каскада
A1 = −Rf1/R1 = −100/47 = −2,128
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 10/100 = 1,1
Каскад за каскадом
V1 = −2,128·(−0,5) = 1,064 V
Vout = 1,1·1,064 = 1,17 V
Ответ
Vout = 1,17 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 1,386 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0,9091 A
Выразите время
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −1·ln(0,25) = 1,386 ms
Ответ
t = 1,386 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: C = 307 µF
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.