Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
Vin = −2 VR1 = 100 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
V1 = 1,5 VV2 = 1,1 VR1 = 1 kΩR2 = 22 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 99% конечного значения? Найдите t.
Vs = 10 VR = 100 ΩL = 220 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 5,5 V? Найдите t.
Vs = 6 VR = 4,7 kΩC = 10 µFvC(0) = 5 V
t = ms
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 8,652 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 10·13/(10+13) = 5,652 Ω
Req = R1 + 5,652 = 3 + 5,652 = 8,652 Ω
Ответ
Req = 8,652 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 5,085 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 12 + 25 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 12,98 Ω
R3 + 12,98 = 37,98 Ω
R2 ∥ 37,98 = 1,9 Ω
Req = R1 + 1,9 = 4 + 1,9 = 5,9 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/5,9 = 5,085 A
Ответ
IR1 = 5,085 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR3 = −1,571 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 24)/2 + (VA − VB)/5 = 0
1,2·VA − 0,2·VB = 12
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/5 = 3
−0,2·VA + 0,2667·VB = 3
Решите
Δ = (1,2)(0,2667) − (−0,2)(−0,2) = 0,28
VA = Δ1/Δ = 3,8/0,28 = 13,57 V
VB = Δ2/Δ = 6/0,28 = 21,43 V
Ответ
IR3 = (VA − VB)/R3 = (13,57 − 21,43)/5 = −1,571 A
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 11 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + 12
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Решите
(VA − 9)/15 + VA/6 + (VA + 12)/6 = 1
VA·(1/15 + 1/6 + 1/6) = 1 + 9/15 − 12/6 = −0,4
VA = −0,4/0,4 = −1 V
VB = 11 V
Ответ
VB = 11 V
5.Метод контурных токов
Ответ: VR3 = 11,52 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 5(I1 − I2) = 10
13·I1 − 5·I2 = 10
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 5(I2 − I1) = (−24)
−5·I1 + 10·I2 = −24
Решите
Δ = (13)(10) − (−5)(−5) = 105
I1 = Δ1/Δ = −20/105 = −0,1905 A
I2 = Δ2/Δ = −262/105 = −2,495 A
Ответ
IR3 = I1 − I2 = 2,305 A
VR3 = IR3·R3 = 2,305·5 = 11,52 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: VR3 = −7,606 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 2(I1 − I2) = 15
10·I1 − 2·I2 = 15
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
6·I2 + 2(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−2·I1 + 11·I2 − 3·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 3(I3 − I2) = (−9)
−3·I2 + 33·I3 = −9
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 3408
I1 = Δ1/Δ = 5256/3408 = 1,542 A
I2 = Δ2/Δ = 720/3408 = 0,2113 A
I3 = Δ3/Δ = −864/3408 = −0,2535 A
Ответ
IR3 = I3 = −0,2535 A
VR3 = IR3·R3 = −0,2535·30 = −7,606 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: Is = 2,4 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ ∥ R₂ подключены между A и землёй. Iₛ делится в узле B между R₄ и ветвью R₃ + R₁∥R₂; часть через R₃ течёт от B к A, против стрелки.
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 2 ∥ 18 = 1,8 Ω
VA = 5·1,8/(2+1,8) = 2,368 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,368·3/18 = 0,3947 V
IR3′ = (VA − 0)/R3 = (2,368 − 0)/2 = 1,184 A
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 1 Ω, поэтому левый путь — R2+1 = 16 Ω
Req = R4 ∥ 16 = 2,526 Ω
VB = Is·Req = (−1)·2,526 = −2,526 V
VA = VB·1/16 = −0,1579 V
IR3″ = (VA − 0)/R3 = (−0,1579 − 0)/2 = −0,07895 A
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 12·16/19 = 10,11 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 10,11·1/16 = 0,6316 V
IR3‴ = (VA − 0)/R3 = (0,6316 − 0)/2 = 0,3158 A
Сложите составляющие
IR3 = IR3′ + IR3″ + IR3‴
IR3 = 1,184 + (−0,07895) + 0,3158 = 1,421 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,3846 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 10 = 13 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·6/(6+6) = 5 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 5/13 = 0,3846 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 1,5 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 3 = 9 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3 + 2·6 = 15 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15 + 2·3 = 21 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 21/(9 + 5) = 1,5 A
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −4 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Инвертирующий вход повторяет вход
V₋ = V₊ = −2 V
I = V₋/R1 = −2/100 = −0,02 mA
Выходное напряжение
Ток через R₁ течёт и через Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −2 + (−0,02)·100 = −4 V
Ответ
Vout = −4 V
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −1,55 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = 1,5/1 = 1,5 mA
I2 = V2/R2 = 1,1/22 = 0,05 mA
If = I1 + I2 = 1,55 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −1·1,55 = −1,55 V
Ответ
Vout = −1,55 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 10,13 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/100 = 0,1 A
Выразите время
0,99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)
t = −2,2·ln(0,01) = 10,13 ms
Ответ
t = 10,13 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 32,58 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.