Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток Ix через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.
Is = 2 AVs = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 4 Ω
Ix = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 17,5 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 90% конечного значения? Найдите t.
Vs = 9 VR = 47 ΩL = 10 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 20 ms.
Vs = 12 VR1 = 4,7 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µFt = 20 ms
vC = V
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 27,89 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 3 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω
Req = R1 + 7,886 = 20 + 7,886 = 27,89 Ω
Ответ
Req = 27,89 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,2027 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 30 + 2 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 1,882 Ω
R3 + 1,882 = 31,88 Ω
R2 ∥ 31,88 = 12,29 Ω
Req = R1 + 12,29 = 15 + 12,29 = 27,29 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/27,29 = 0,3298 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,3298·15 = 4,053 V
IR2 = VA/R2 = 4,053/20 = 0,2027 A
Ответ
IR2 = 0,2027 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: Ix = 2,063 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 9
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/12 + (VA + 9)/4 = 2
VA = (2 − 9/4)/(1/12 + 1/4) = −0,75 V
VB = −0,75 + 9 = 8,25 V
Ток через источник напряжения
Всё, что проходит через источник от A к B, уходит из узла B через R₂.
Ix = VB/R2 = 8,25/4 = 2,063 A
Ответ
Ix = 2,063 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 1,801 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(17,5 − 18)/20 + 17,5/15 = (VB − 17,5)/2
1,142 = (VB − 17,5)/2 → VB = 19,78 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (19,78 − 17,5)/2 + 19,78/30 = 1,801 A
Ответ
Is = 1,801 A
5.Метод контурных токов
Ответ: I2 = −0,1429 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 6(I1 − I2) = 12
9·I1 − 6·I2 = 12
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 6(I2 − I1) = (−9)
−6·I1 + 11·I2 = −9
Решите
Δ = (9)(11) − (−6)(−6) = 63
I1 = Δ1/Δ = 78/63 = 1,238 A
I2 = Δ2/Δ = −9/63 = −0,1429 A
Ответ
I2 = −0,1429 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR1 = 0,6106 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 6(I1 − I2) = 10
14·I1 − 6·I2 = 10
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
2·I2 + 6(I2 − I1) + 6(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 14·I2 − 6·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
8·I3 + 6(I3 − I2) = (−15)
−6·I2 + 14·I3 = −15
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 1736
I1 = Δ1/Δ = 1060/1736 = 0,6106 A
I2 = Δ2/Δ = −420/1736 = −0,2419 A
I3 = Δ3/Δ = −2040/1736 = −1,175 A
Ответ
IR1 = I1 = 0,6106 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: IR2 = 3,074 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 8+15 = 23 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 5·23/(5+23) = 4,107 Ω
VA = 30·4,107/(6+4,107) = 12,19 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 12,19·15/23 = 7,951 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (12,19 − 0)/5 = 2,438 A
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 15 ∥ 10,73 = 6,254 Ω
VB = Is·Req = 2·6,254 = 12,51 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,51·2,727/10,73 = 3,18 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (3,18 − 0)/5 = 0,636 A
Сложите составляющие
IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 2,438 + 0,636 = 3,074 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
8.Метод наложения
Ответ: VR2 = −1,723 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 10 = 4,444 Ω
VA = 36·4,444/(6+4,444) = 15,32 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 15,32·8/10 = 12,26 V
VR2′ = VB − VA = 12,26 − 15,32 = −3,064 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 3,429 Ω, поэтому левый путь — R2+3,429 = 5,429 Ω
Req = R4 ∥ 5,429 = 3,234 Ω
VB = Is·Req = 0,5·3,234 = 1,617 V
VA = VB·3,429/5,429 = 1,021 V
VR2″ = VB − VA = 1,617 − 1,021 = 0,5957 V
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 5·5,429/13,43 = 2,021 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 2,021·3,429/5,429 = 1,277 V
VR2‴ = VB − VA = 2,021 − 1,277 = 0,7447 V
Сложите составляющие
VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = (−3,064) + 0,5957 + 0,7447 = −1,723 V
Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,15 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 5 = 6,667 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·2/(10+2) = 1 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 1/6,667 = 0,15 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 97,97 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,529 + 25 = 28,53 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 25,41 + 4·3,529 = 39,53 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 39,53 + 4·25 = 139,5 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 139,5/(28,53 + 6) = 4,041 A
PL = IL²·RL = 4,041²·6 = 97,97 W
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −2,269 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = −0,9/47 = −0,01915 mA
I2 = V2/R2 = −0,6/22 = −0,02727 mA
If = I1 + I2 = −0,04642 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −100·(−0,04642) = 4,642 V
Ответ
Vout = 4,642 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 0,4899 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0,1915 A
Выразите время
0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −0,2128·ln(0,1) = 0,4899 ms
Ответ
t = 0,4899 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 1,569 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.