Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
Is = 2,5 AVs = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω
VA = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Подберите резистор обратной связи Rf, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 31.
R1 = 22 kΩAv = 31
Rf = kΩ
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение Vin = 1,9 V. Найдите выходное напряжение Vout при t = 20 ms.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.
Vs = 20 VR = 20 ΩL = 33 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 300 ms.
Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 3,3 kΩC = 220 µFt = 300 ms
i2 = mA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,941 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1,636 Ω
Req = R1 + 1,636 = 3 + 1,636 = 4,636 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/4,636 = 1,941 A
Ответ
IR1 = 1,941 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 14,84 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 8 + 10 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 2,571 Ω
R3 + 2,571 = 6,571 Ω
R2 ∥ 6,571 = 2,84 Ω
Req = R1 + 2,84 = 12 + 2,84 = 14,84 Ω
Ответ
Req = 14,84 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 4,444 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 12
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/10 + (VA + 12)/8 = 2,5
VA = (2,5 − 12/8)/(1/10 + 1/8) = 4,444 V
VB = 4,444 + 12 = 16,44 V
Ответ
VA = 4,444 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 13,85 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + 5
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Решите
(VA − 10)/10 + VA/2 + (VA + 5)/20 = 5
VA·(1/10 + 1/2 + 1/20) = 5 + 10/10 − 5/20 = 5,75
VA = 5,75/0,65 = 8,846 V
VB = 13,85 V
Ответ
VB = 13,85 V
5.Метод контурных токов
Ответ: I1 = −0,375 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 20(I1 − I2) = 6
32·I1 − 20·I2 = 6
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
15·I2 + 20(I2 − I1) = (−24)
−20·I1 + 35·I2 = −24
Решите
Δ = (32)(35) − (−20)(−20) = 720
I1 = Δ1/Δ = −270/720 = −0,375 A
I2 = Δ2/Δ = −648/720 = −0,9 A
Ответ
I1 = −0,375 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR1 = 0,6332 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 10(I1 − I2) = 9
18·I1 − 10·I2 = 9
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
4·I2 + 10(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−10·I1 + 17·I2 − 3·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 3(I3 − I2) = (−12)
−3·I2 + 15·I3 = −12
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 2928
I1 = Δ1/Δ = 1854/2928 = 0,6332 A
I2 = Δ2/Δ = 702/2928 = 0,2398 A
I3 = Δ3/Δ = −2202/2928 = −0,752 A
Ответ
IR1 = I1 = 0,6332 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: IR2 = 1,291 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 4+12 = 16 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·16/(6+16) = 4,364 Ω
VA = 18·4,364/(10+4,364) = 5,468 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 5,468·12/16 = 4,101 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (5,468 − 0)/6 = 0,9114 A
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 10·6/(10+6) = 3,75 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 7,75 = 4,709 Ω
VB = Is·Req = 1·4,709 = 4,709 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 4,709·3,75/7,75 = 2,278 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (2,278 − 0)/6 = 0,3797 A
Сложите составляющие
IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 0,9114 + 0,3797 = 1,291 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
8.Метод наложения
Ответ: IR4 = 1,9 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 12 ∥ 30 = 8,571 Ω
VA = 10·8,571/(20+8,571) = 3 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3·20/30 = 2 V
IR4′ = (VB − V2)/R4 = (2 − 0)/20 = 0,1 A
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 7,5 Ω, поэтому левый путь — R2+7,5 = 17,5 Ω
Req = R4 ∥ 17,5 = 9,333 Ω
VB = Is·Req = 3·9,333 = 28 V
VA = VB·7,5/17,5 = 12 V
IR4″ = (VB − V2)/R4 = (28 − 0)/20 = 1,4 A
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−15)·17,5/37,5 = −7 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −7·7,5/17,5 = −3 V
IR4‴ = (VB − V2)/R4 = (−7 − −15)/20 = 0,4 A
Сложите составляющие
IR4 = IR4′ + IR4″ + IR4‴
IR4 = 0,1 + 1,4 + 0,4 = 1,9 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,3448 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,714 + 15 = 20,71 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·20/(8+20) = 7,143 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 7,143/20,71 = 0,3448 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 2,621 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 6 = 9,333 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + 5·3,333 = 20,67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 20,67 + 5·6 = 50,67 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 50,67/(9,333 + 10) = 2,621 A
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 660 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (31 − 1)·22 = 660 kΩ
Ответ
Rf = 660 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −3,675 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входной ток и скорость нарастания
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
RC = 2,2 kΩ · 4,7 µF = 10,34 ms
скорость нарастания = −Vin/(RC) = −1,9/10,34 = −0,1838 V/ms
Выходное напряжение в заданный момент
Идеальное значение лежит в пределах ±Vsat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.
Vout = −Vin·t/(RC) = −1,9·20/10,34 = −3,675 V
Ответ
Vout = −3,675 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 1,144 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A
Выразите время
0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −1,65·ln(0,5) = 1,144 ms
Ответ
t = 1,144 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i2 = 0,5969 mA
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.