Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​2 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBIs​1,5 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).

V1 = 18 VIs = 1,5 AR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 12 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​15 VR3​20 ΩAR5​6 ΩBIs​4 A+−V2​12 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).

V1 = 15 VIs = 4 AV2 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 25 ΩR5 = 6 Ω
VB = V
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 12 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I1 (по часовой стрелке).

V1 = 15 VV2 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 Ω
I1 = A
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 12 Ω+−VR1​R2​ = 30 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR4​5 ΩAR5​2 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR1 на R1 с указанной полярностью.

V1 = 24 VV2 = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 ΩR5 = 2 Ω
VR1 = V
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩIR3​+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBIs​1 A

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR3 через R3 в направлении стрелки.

V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 Ω
IR3 = A
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 5 ΩR2​ = 2 ΩIR2​R4​ = 3 Ω+−V1​10 VR3​4 ΩAIs​1,5 AB+−V2​15 V

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 10 VIs = 1,5 AV2 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAIs​1 ABab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 10 VIs = 1 AR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 100 kΩVin​

Подберите резистор обратной связи Rf, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 25.

R1 = 100 kΩAv = 25
Rf = kΩ
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 1,7 VR1​ = 100 kΩV2​ = −1,8 VR3​ = 1 kΩR4​ = 1 kΩ

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение Vout.

V1 = 1,7 VV2 = −1,8 VR1 = 100 kΩR2 = 2 kΩR3 = 1 kΩR4 = 1 kΩ
Vout = V
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​24 Vt = 0R = 10 ΩL68 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

Vs = 24 VR = 10 ΩL = 68 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​6 VR1​ = 15 ΩR2​ = 20 Ωразмыкается при t = 0L220 mHi(t)

Ключ, шунтирующий R2, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 10 ms.

Vs = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 13,8 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 15 + 3 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω
Req = R1 + 1,8 = 12 + 1,8 = 13,8 Ω

Ответ

Req = 13,8 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,3881 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 3 Ω
R3 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 6,964 Ω
Req = R1 + 6,964 = 5 + 6,964 = 11,96 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/11,96 = 0,8358 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,8358·5 = 5,821 V
IR2 = VA/R2 = 5,821/15 = 0,3881 A

Ответ

IR2 = 0,3881 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 3,952 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBIs​1,5 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 18)/5 + (VA − VB)/4 = 0
0,7833·VA − 0,25·VB = 3,6

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/4 = 1,5
−0,25·VA + 0,75·VB = 1,5

Решите

Δ = (0,7833)(0,75) − (−0,25)(−0,25) = 0,525
VA = Δ1/Δ = 3,075/0,525 = 5,857 V
VB = Δ2/Δ = 2,075/0,525 = 3,952 V

Ответ

VB = 3,952 V
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 18,24 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 12 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​15 VR3​20 ΩAR5​6 ΩBIs​4 A+−V2​12 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V, V2 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/20 + (VA − 15)/12 + (VA − VB)/5 = 0
0,3333·VA − 0,2·VB = 1,25

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/6 + (VB − VA)/5 + (VB − 12)/25 = 4
−0,2·VA + 0,4067·VB = 4,48

Решите

Δ = (0,3333)(0,4067) − (−0,2)(−0,2) = 0,09556
VA = Δ1/Δ = 1,404/0,09556 = 14,7 V
VB = Δ2/Δ = 1,743/0,09556 = 18,24 V

Ответ

VB = 18,24 V
5.Метод контурных токов

Ответ: I1 = −0,8333 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 12 ΩR2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​15 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 15(I1 − I2) = 15
27·I1 − 15·I2 = 15

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
2·I2 + 15(I2 − I1) = (−30)
−15·I1 + 17·I2 = −30

Решите

Δ = (27)(17) − (−15)(−15) = 234
I1 = Δ1/Δ = −195/234 = −0,8333 A
I2 = Δ2/Δ = −585/234 = −2,5 A

Ответ

I1 = −0,8333 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: VR1 = 17,53 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 12 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR4​5 ΩAR5​2 ΩB+−V2​5 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
12·I1 + 5(I1 − I2) = 24
17·I1 − 5·I2 = 24

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
30·I2 + 5(I2 − I1) + 2(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 37·I2 − 2·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
6·I3 + 2(I3 − I2) = (−5)
−2·I2 + 8·I3 = −5

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 4764
I1 = Δ1/Δ = 6958/4764 = 1,461 A
I2 = Δ2/Δ = 790/4764 = 0,1658 A
I3 = Δ3/Δ = −2780/4764 = −0,5835 A

Ответ

IR1 = I1 = 1,461 A
VR1 = IR1·R1 = 1,461·12 = 17,53 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: IR3 = 0,2705 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 20+3 = 23 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 20·23/(20+23) = 10,7 Ω
VA = 18·10,7/(12+10,7) = 8,484 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 8,484·3/23 = 1,107 V
IR3′ = (VA − VB)/R3 = (8,484 − 1,107)/20 = 0,3689 A
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​20 ΩAR4​3 ΩBIs​1 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 27,5 = 2,705 Ω
VB = Is·Req = 1·2,705 = 2,705 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 2,705·7,5/27,5 = 0,7377 V
IR3″ = (VA − VB)/R3 = (0,7377 − 2,705)/20 = −0,09836 A

Сложите составляющие

IR3 = IR3′ + IR3″
IR3 = 0,3689 + (−0,09836) = 0,2705 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

8.Метод наложения

Ответ: IR2 = −2,085 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 5 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​10 VR3​4 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 4 ∥ 5 = 2,222 Ω
VA = 10·2,222/(5+2,222) = 3,077 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3,077·3/5 = 1,846 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (3,077 − 1,846)/2 = 0,6154 A
R1​ = 5 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 3 ΩКЗR3​4 ΩAIs​1,5 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 2,222 Ω, поэтому левый путь — R2+2,222 = 4,222 Ω
Req = R4 ∥ 4,222 = 1,754 Ω
VB = Is·Req = 1,5·1,754 = 2,631 V
VA = VB·2,222/4,222 = 1,385 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (1,385 − 2,631)/2 = −0,6231 A
R1​ = 5 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 3 ΩКЗR3​4 ΩAОБРЫВB+−V2​15 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·4,222/7,222 = 8,769 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 8,769·2,222/4,222 = 4,615 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (4,615 − 8,769)/2 = −2,077 A

Сложите составляющие

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = 0,6154 + (−0,6231) + (−2,077) = −2,085 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: Rth = 17,86 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​10 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,857 + 15 = 17,86 Ω
10.Тевенин и Нортон

Ответ: Vth = 14,25 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​15 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 3 = 6,75 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 1·3,75 = 11,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,25 + 1·3 = 14,25 V
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Rf = 2400 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (25 − 1)·100 = 2400 kΩ

Ответ

Rf = 2400 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vout = −0,952 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −1,8·1/(1 + 1) = −0,9 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

Vout = −(2/100)·1,7 + (1 + 2/100)·(−0,9) = −0,034 + (−0,918) = −0,952 V

Ответ

Vout = −0,952 V
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 4,713 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms
i(∞) = Vs/R = 24/10 = 2,4 A

Выразите время

0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −6,8·ln(0,5) = 4,713 ms

Ответ

t = 4,713 ms
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,218 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 6/15 = 0,4 A
i(∞) = 6/(15 + 20) = 0,1714 A
τ = L/R = 220/35 = 6,286 ms
i(t) = 0,1714 + (0,4 − 0,1714)·e−t/τ

Ток в заданный момент

i(10) = 0,1714 + (0,2286)·e−10/6,286 = 0,218 A

Ответ

i = 0,218 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1