Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBR6​6 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 4 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩIR3​+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBIs​5 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR3 через R3 в направлении стрелки.

V1 = 24 VIs = 5 AR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR3 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 30 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 8 ΩIR4​+−V1​12 VR3​12 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​18 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.

V1 = 12 VIs = 0,5 AV2 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 30 Ω
IR4 = A
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 10 ΩR2​ = 10 Ω+−VR2​+−V1​30 VR3​5 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR2 на R2 с указанной полярностью.

V1 = 30 VV2 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 Ω
VR2 = V
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 3 ΩR2​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR4​20 Ω+−VR4​AR5​6 ΩB+−V2​30 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR4 на R4 с указанной полярностью.

V1 = 30 VV2 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 Ω
VR4 = V
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​1,5 A

Используйте метод наложения, чтобы найти мощность PR1, потребляемую R1.

V1 = 18 VIs = 1,5 AR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 Ω
PR1 = W
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 15 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​5 VR3​30 ΩIR3​AIs​4 AB+−V2​?

Найдите значение источника напряжения V2 (полярность как на схеме), при котором ток IR3 через R3 равен нулю.

V1 = 5 VIs = 4 AR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 30 ΩR4 = 15 Ω
V2 = V
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​5 ABab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 1 kΩVin​

ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала Vin,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.

R1 = 1 kΩRf = 10 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = −0,3 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = −2 VR2​ = 47 kΩIf​

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток If через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V1 = −0,3 VV2 = −2 VR1 = 4,7 kΩR2 = 47 kΩRf = 47 kΩ
If = mA
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL220 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​9 Vt = 0R = 3,3 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 500 ms.

Vs = 9 VR = 3,3 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 Vt = 500 ms
vC = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,6908 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 4·35/(4+35) = 3,59 Ω
Req = R1 + 3,59 = 12 + 3,59 = 15,59 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/15,59 = 0,7697 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,7697·12 = 2,763 V
IR2 = VA/R2 = 2,763/4 = 0,6908 A

Ответ

IR2 = 0,6908 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 6,612 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBR6​6 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 4 + 6 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 4,444 Ω
R3 + 4,444 = 16,44 Ω
R2 ∥ 16,44 = 2,537 Ω
Req = R1 + 2,537 = 2 + 2,537 = 4,537 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/4,537 = 6,612 A

Ответ

IR1 = 6,612 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR3 = 1,892 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBIs​5 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/10 + (VA − 24)/15 + (VA − VB)/4 = 0
0,4167·VA − 0,25·VB = 1,6

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/3 + (VB − VA)/4 = (−5)
−0,25·VA + 0,5833·VB = −5

Решите

Δ = (0,4167)(0,5833) − (−0,25)(−0,25) = 0,1806
VA = Δ1/Δ = −0,3167/0,1806 = −1,754 V
VB = Δ2/Δ = −1,683/0,1806 = −9,323 V

Ответ

IR3 = (VA − VB)/R3 = (−1,754 − −9,323)/4 = 1,892 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR4 = −0,3549 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 30 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​12 VR3​12 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​18 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 12 V, V2 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/12 + (VA − 12)/30 + (VA − VB)/25 = 0
0,1567·VA − 0,04·VB = 0,4

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/25 + (VB − 18)/8 = 0,5
−0,04·VA + 0,1983·VB = 2,75

Решите

Δ = (0,1567)(0,1983) − (−0,04)(−0,04) = 0,02947
VA = Δ1/Δ = 0,1893/0,02947 = 6,424 V
VB = Δ2/Δ = 0,4468/0,02947 = 15,16 V

Ответ

IR4 = (VB − V2)/R4 = (15,16 − 18)/8 = −0,3549 A
5.Метод контурных токов

Ответ: VR2 = −1,5 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 10 ΩR2​ = 10 Ω+−V1​30 VR3​5 ΩA+−V2​12 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 5(I1 − I2) = 30
15·I1 − 5·I2 = 30

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
10·I2 + 5(I2 − I1) = (−12)
−5·I1 + 15·I2 = −12

Решите

Δ = (15)(15) − (−5)(−5) = 200
I1 = Δ1/Δ = 390/200 = 1,95 A
I2 = Δ2/Δ = −30/200 = −0,15 A

Ответ

IR2 = I2 = −0,15 A
VR2 = IR2·R2 = −0,15·10 = −1,5 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: VR4 = 22,13 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 3 ΩR2​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR4​20 ΩAR5​6 ΩB+−V2​30 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
3·I1 + 20(I1 − I2) = 30
23·I1 − 20·I2 = 30

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
4·I2 + 20(I2 − I1) + 6(I2 − I3) = 0
−20·I1 + 30·I2 − 6·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 6(I3 − I2) = (−30)
−6·I2 + 18·I3 = −30

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 4392
I1 = Δ1/Δ = 11520/4392 = 2,623 A
I2 = Δ2/Δ = 6660/4392 = 1,516 A
I3 = Δ3/Δ = −5100/4392 = −1,161 A

Ответ

IR4 = I1 − I2 = 1,107 A
VR4 = IR4·R4 = 1,107·20 = 22,13 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: PR1 = 39,58 W

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 5+8 = 13 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω
VA = 18·2,438/(4+2,438) = 6,816 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 6,816·8/13 = 4,194 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (18 − 6,816)/4 = 2,796 A
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​1,5 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.

R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 8 ∥ 6,714 = 3,65 Ω
VB = −Is·Req = −1,5·3,65 = −5,476 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −5,476·1,714/6,714 = −1,398 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − −1,398)/4 = 0,3495 A

Складываем вклады токов

IR1 = IR1′ + IR1″ = 2,796 + 0,3495 = 3,146 A

Мощность в резисторе

Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.

PR1 = IR1²·R1 = 3,146²·4 = 39,58 W

Ответ

PR1 = 39,58 W

Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 31,76 W, что неверно.

8.Метод наложения

Ответ: V2 = 54,33 V

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 15 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​5 VR3​30 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 30 ∥ 17 = 10,85 Ω
VA = 5·10,85/(15+10,85) = 2,099 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 2,099·15/17 = 1,852 V
R1​ = 15 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 15 ΩКЗR3​30 ΩAIs​4 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.

R1 ∥ R3 = 10 Ω, поэтому левый путь — R2+10 = 12 Ω
Req = R4 ∥ 12 = 6,667 Ω
VB = −Is·Req = −4·6,667 = −26,67 V
VA = VB·10/12 = −22,22 V

Случай 3 · действует только V2, на один вольт

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 10 Ω
VA‴ = V2·10/(15 + 2 + 10) = 0,3704·V2

Приравниваем VA к нулю

При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.

VA′ + VA″ + VA‴ = 2,099 + (−22,22) + 0,3704·V2 = 0
V2 = 20,12/0,3704 = 54,33 V

Ответ

V2 = 54,33 V
9.Тевенин и Нортон

Ответ: Rth = 8,222 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​4 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 6 = 8,222 Ω
10.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 5,103 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​2 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 15 = 16,71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,714 + 5·1,714 = 10,29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10,29 + 5·15 = 85,29 V
IN​5,103 ARth​16,71 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 85,29/16,71 = 5,103 A
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vin,max = 1,182 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 10/1 = 11

Наибольший вход до ограничения

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/11 = 1,182 V

Ответ

Vin,max = 1,182 V
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: If = −0,1064 mA

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I1 = V1/R1 = −0,3/4,7 = −0,06383 mA
I2 = V2/R2 = −2/47 = −0,04255 mA
If = I1 + I2 = −0,1064 mA

Ответ

If = −0,1064 mA
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2683 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0,6818 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,6818·(1 − e−5/10) = 0,2683 A

Ответ

i = 0,2683 A
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 10,18 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms
vC(t) = 9 + (20 − 9)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(500) = 9 + (11)·e−500/224,4 = 10,18 V

Ответ

vC = 10,18 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1