Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​10 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​2 ΩAR4​2 ΩBR6​25 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 2 ΩR5 = 8 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​6 Ω+−V1​15 VI1​R2​20 Ω+−V2​10 VR3​20 Ω−+V3​24 VA

Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩV2 = 10 VR2 = 20 ΩV3 = 24 VR3 = 20 Ω
I1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 10 ΩR2​ = 3 ΩIR2​R4​ = 20 Ω+−V1​36 VR3​8 ΩAR5​8 ΩBIs​1 A+−V2​30 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 36 VIs = 1 AV2 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 Ω
IR2 = A
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​30 VR3​15 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I1 (по часовой стрелке).

V1 = 30 VV2 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 Ω
I1 = A
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 25 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩAR5​20 Ω+−VR5​B+−V2​18 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR5 на R5 с указанной полярностью.

V1 = 36 VV2 = 18 VR1 = 25 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 20 Ω
VR5 = V
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 Ω+−VR2​AR4​4 ΩBIs​5 A

Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR2 на R2 с указанной полярностью.

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 Ω
VR2 = V
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​6 VR3​3 ΩIR3​AIs​6 AB+−V2​?

Найдите значение источника напряжения V2 (полярность как на схеме), при котором ток IR3 через R3 равен нулю.

V1 = 6 VIs = 6 AR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 Ω
V2 = V
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAIs​2,5 ABRL​4 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 4 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 9 VIs = 2,5 AR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩRL = 4 Ω
IL = A
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​R2​ = 4,7 kΩV1​ = 2,8 VR1​ = 1 kΩV2​ = 2,7 VR3​ = 1 kΩR4​ = 4,7 kΩ

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R3 = R1 и R4 = R2. Найдите напряжение V− на инвертирующем входе.

V1 = 2,8 VV2 = 2,7 VR1 = R3 = 1 kΩR2 = R4 = 4,7 kΩ
V− = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩV1​ = 0,9 VR1​ = 1 kΩV2​ = −1,1 VR2​ = 22 kΩIf​

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток If через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V1 = 0,9 VV2 = −1,1 VR1 = 1 kΩR2 = 22 kΩRf = 4,7 kΩ
If = mA
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL47 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms
vL = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​9 Vt = 0R = 4,7 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 6,6 V? Найдите t.

Vs = 9 VR = 4,7 kΩC = 100 µFvC(0) = 5 V
t = ms

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 10,46 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω
Req = R1 + 6,462 = 4 + 6,462 = 10,46 Ω

Ответ

Req = 10,46 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,2965 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​2 ΩAR4​2 ΩBR6​25 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 8 + 25 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 1,886 Ω
R3 + 1,886 = 26,89 Ω
R2 ∥ 26,89 = 1,862 Ω
Req = R1 + 1,862 = 15 + 1,862 = 16,86 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/16,86 = 0,2965 A

Ответ

IR1 = 0,2965 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I1 = 1,375 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.

(VA − 15)/6 + (VA − 10)/20 + (VA − (−24))/20 = 0

Находим VA

VA = (15/6 + 10/20 + (−24)/20) / (1/6 + 1/20 + 1/20) = 1,8/0,2667 = 6,75 V

Ток ветви

Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.

I1 = (15 − VA)/R1 = (15 − 6,75)/6 = 1,375 A

Ответ

I1 = 1,375 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR2 = 0,1303 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 10 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​36 VR3​8 ΩAR5​8 ΩBIs​1 A+−V2​30 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 36 V, V2 = 30 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 36)/10 + (VA − VB)/3 = 0
0,5583·VA − 0,3333·VB = 3,6

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/8 + (VB − VA)/3 + (VB − 30)/20 = 1
−0,3333·VA + 0,5083·VB = 2,5

Решите

Δ = (0,5583)(0,5083) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,1727
VA = Δ1/Δ = 2,663/0,1727 = 15,42 V
VB = Δ2/Δ = 2,596/0,1727 = 15,03 V

Ответ

IR2 = (VA − VB)/R2 = (15,42 − 15,03)/3 = 0,1303 A
5.Метод контурных токов

Ответ: I1 = 1,733 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​30 VR3​15 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 15(I1 − I2) = 30
25·I1 − 15·I2 = 30

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 15(I2 − I1) = (−10)
−15·I1 + 18·I2 = −10

Решите

Δ = (25)(18) − (−15)(−15) = 225
I1 = Δ1/Δ = 390/225 = 1,733 A
I2 = Δ2/Δ = 200/225 = 0,8889 A

Ответ

I1 = 1,733 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: VR5 = 10,15 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 25 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩAR5​20 ΩB+−V2​18 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
25·I1 + 30(I1 − I2) = 36
55·I1 − 30·I2 = 36

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 30(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 75·I2 − 20·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 20(I3 − I2) = (−18)
−20·I2 + 50·I3 = −18

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 139250
I1 = Δ1/Δ = 109800/139250 = 0,7885 A
I2 = Δ2/Δ = 34200/139250 = 0,2456 A
I3 = Δ3/Δ = −36450/139250 = −0,2618 A

Ответ

IR5 = I2 − I3 = 0,5074 A
VR5 = IR5·R5 = 0,5074·20 = 10,15 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: VR2 = 2,834 V

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 15+4 = 19 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 2·19/(2+19) = 1,81 Ω
VA = 9·1,81/(12+1,81) = 1,179 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,179·4/19 = 0,2483 V
VR2′ = VA − 0 = 1,179 − 0 = 1,179 V
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​2 ΩAR4​4 ΩBIs​5 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 4 ∥ 16,71 = 3,228 Ω
VB = Is·Req = 5·3,228 = 16,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 16,14·1,714/16,71 = 1,655 V
VR2″ = VA − 0 = 1,655 − 0 = 1,655 V

Сложите составляющие

VR2 = VR2′ + VR2″
VR2 = 1,179 + 1,655 = 2,834 V

Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.

8.Метод наложения

Ответ: V2 = 4,8 V

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​6 VR3​3 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 3 ∥ 33 = 2,75 Ω
VA = 6·2,75/(15+2,75) = 0,9296 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 0,9296·3/33 = 0,08451 V
R1​ = 15 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 3 ΩКЗR3​3 ΩAIs​6 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.

R1 ∥ R3 = 2,5 Ω, поэтому левый путь — R2+2,5 = 32,5 Ω
Req = R4 ∥ 32,5 = 2,746 Ω
VB = −Is·Req = −6·2,746 = −16,48 V
VA = VB·2,5/32,5 = −1,268 V

Случай 3 · действует только V2, на один вольт

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 2,5 Ω
VA‴ = V2·2,5/(3 + 30 + 2,5) = 0,07042·V2

Приравниваем VA к нулю

При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.

VA′ + VA″ + VA‴ = 0,9296 + (−1,268) + 0,07042·V2 = 0
V2 = 0,338/0,07042 = 4,8 V

Ответ

V2 = 4,8 V
9.Тевенин и Нортон

Ответ: Rth = 8,5 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​3 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 6 = 8,5 Ω
10.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 2,174 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​5 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 12·5/(12+5) = 3,529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,529 + 15 = 18,53 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,647 + 2,5·3,529 = 11,47 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,47 + 2,5·15 = 48,97 V
Rth​ = 18,53 Ω+−Vth​48,97 VRL​4 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 48,97/(18,53 + 4) = 2,174 A
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V− = 2,226 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2,7·4,7/(1 + 4,7) = 2,226 V
V₋ = V₊

Ответ

V− = 2,226 V
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: If = 0,85 mA

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I1 = V1/R1 = 0,9/1 = 0,9 mA
I2 = V2/R2 = −1,1/22 = −0,05 mA
If = I1 + I2 = 0,85 mA

Ответ

If = 0,85 mA
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vL = 3,679 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0,2128 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/1 = 3,679 V

Ответ

vL = 3,679 V
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 240,1 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 9 + (5 − 9)·e−t/τ

Выразите время

6,6 = 9 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (6,6 − 9)/(5 − 9) = 0,6
t = τ·ln((5 − 9)/(6,6 − 9)) = 470·ln(1,667) = 240,1 ms

Ответ

t = 240,1 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1