Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,5·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
К a–b подключена нагрузка RL = 2 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩRL = 2 Ω
IL = A
10.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 6 VIs = 0,5 AR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
Vin = 0,7 VR1 = 10 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R1, Rf1), за ним неинвертирующий (R2 на землю, Rf2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение Vin = −0,35 V. Найдите выходное напряжение Vout.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 50 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 50 ms.
Vs = 15 VR1 = 4,7 kΩR2 = 4,7 kΩC = 10 µFt = 50 ms
vC = V
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 11 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 15·10/(15+10) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 5 + 6 = 11 Ω
Ответ
Req = 11 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 2,569 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 12 + 6 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 3,913 Ω
R3 + 3,913 = 13,91 Ω
R2 ∥ 13,91 = 3,678 Ω
Req = R1 + 3,678 = 8 + 3,678 = 11,68 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/11,68 = 2,569 A
Ответ
IR1 = 2,569 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = 1,089 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 24)/15 + (VA − VB)/15 = 0
0,1833·VA − 0,06667·VB = 1,6
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,7067·VA − 0,1667·VB = 1,44
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,5·VA
−0,6667·VA + 0,2917·VB = 0
Решите
Δ = (0,7067)(0,2917) − (−0,1667)(−0,6667) = 0,095
VA = Δ1/Δ = 0,42/0,095 = 4,421 V
VB = Δ2/Δ = 0,96/0,095 = 10,11 V
Ответ
VB = 10,11 V
5.Метод контурных токов
Ответ: I2 = −0,7742 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 6(I1 − I2) = 24
10·I1 − 6·I2 = 24
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
10·I2 + 6(I2 − I1) = (−24)
−6·I1 + 16·I2 = −24
Решите
Δ = (10)(16) − (−6)(−6) = 124
I1 = Δ1/Δ = 240/124 = 1,935 A
I2 = Δ2/Δ = −96/124 = −0,7742 A
Ответ
I2 = −0,7742 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR4 = 1,029 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
25·I1 + 6(I1 − I2) = 5
31·I1 − 6·I2 = 5
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
8·I2 + 6(I2 − I1) + 12(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 26·I2 − 12·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 12(I3 − I2) = (−24)
−12·I2 + 16·I3 = −24
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 7856
I1 = Δ1/Δ = −368/7856 = −0,04684 A
I2 = Δ2/Δ = −8448/7856 = −1,075 A
I3 = Δ3/Δ = −18120/7856 = −2,307 A
Ответ
IR4 = I1 − I2 = 1,029 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: VR4 = 26,35 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 3+8 = 11 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 20·11/(20+11) = 7,097 Ω
VA = 18·7,097/(5+7,097) = 10,56 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 10,56·8/11 = 7,68 V
VR4′ = VB − 0 = 7,68 − 0 = 7,68 V
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 8 ∥ 7 = 3,733 Ω
VB = Is·Req = 5·3,733 = 18,67 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 18,67·4/7 = 10,67 V
VR4″ = VB − 0 = 18,67 − 0 = 18,67 V
Сложите составляющие
VR4 = VR4′ + VR4″
VR4 = 7,68 + 18,67 = 26,35 V
Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.
8.Метод наложения
Ответ: V2 = 16,4 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 3 ∥ 17 = 2,55 Ω
VA = 12·2,55/(15+2,55) = 1,744 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 1,744·12/17 = 1,231 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 2,5 Ω, поэтому левый путь — R2+2,5 = 7,5 Ω
Req = R4 ∥ 7,5 = 4,615 Ω
VB = −Is·Req = −2,5·4,615 = −11,54 V
VA = VB·2,5/7,5 = −3,846 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 2,5 Ω
VA‴ = V2·2,5/(12 + 5 + 2,5) = 0,1282·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 10 = 14 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·20/(5+20) = 12 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 12/(14 + 2) = 0,75 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 7,8 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 6 = 8,4 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,6 + 0,5·2,4 = 4,8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4,8 + 0,5·6 = 7,8 V
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = 7,7 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Инвертирующий вход повторяет вход
V₋ = V₊ = 0,7 V
I = V₋/R1 = 0,7/10 = 0,07 mA
Выходное напряжение
Ток через R₁ течёт и через Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = 0,7 + 0,07·100 = 7,7 V
Ответ
Vout = 7,7 V
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = 9,047 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления каждого каскада
A1 = −Rf1/R1 = −4,7/2 = −2,35
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 47/4,7 = 11
Каскад за каскадом
V1 = −2,35·(−0,35) = 0,8225 V
Vout = 11·0,8225 = 9,047 V
Ответ
Vout = 9,047 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 1,978 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0,66 ms
i(∞) = Vs/R = 9/50 = 0,18 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−1/0,66 = 1,978 V
Ответ
vL = 1,978 V
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 2,588 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.