Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I₂ в ветви 2, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩV₂ = 6 VR₂ = 6 ΩV₃ = 15 VR₃ = 8 Ω

I₂ = A

4.Метод узловых потенциаловСложная

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток I_R4 через R₄ в направлении стрелки.

V₁ = 36 VI_s = 5 AV₂ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 Ω

I_R4 = A

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₂ (по часовой стрелке).

V₁ = 24 VV₂ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 Ω

I₂ = A

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение V_R2 на R₂ с указанной полярностью.

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 Ω

V_R2 = V

7.Метод наложенияСредняя

Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения V_s и один источник тока I_s. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при V_s = 6 V и I_s = 10 mA I = 14 mA; при V_s = 12 V и I_s = 1 mA I = 18,5 mA. Найдите ток нагрузки I при V_s = 8 V и I_s = 4 mA.

6 V, 10 mA → 14 mA12 V, 1 mA → 18,5 mAV_s = 8 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.Метод наложенияСложная

Линейная резистивная цепь содержит три независимых источника: V₁, V₂ и I_s. Ток I через нагрузку измерен три раза. При номинальных значениях всех источников I = 23 mA. Если V₁ удвоить, а два других оставить без изменений, I = 29,5 mA. Если изменить направление I_s на противоположное, а два других оставить без изменений, I = 13 mA. Найдите ток нагрузки I, если V₂ отключён, а V₁ и I_s имеют номинальные значения.

номинальные значения: I = 23 mA2·V₁: I = 29,5 mA−I_s: I = 13 mA

I = mA

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 25 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 15 VI_s = 1,5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = −2,1 VV₂ = 1,4 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V_out = V

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R₁, R_f1), за ним неинвертирующий (R₂ на землю, R_f2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение V_in = −0,3 V. Найдите выходное напряжение V_out.

R₁ = 22 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 1 kΩR_f2 = 2 kΩV_in = −0,3 V

V_out = V

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 22 V? Найдите t.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 11,46 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω

R_eq = R₁ + 6,462 = 5 + 6,462 = 11,46 Ω

Ответ

R_eq = 11,46 Ω

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3141 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 20 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 4,545 Ω

R₃ + 4,545 = 19,55 Ω

R₂ ∥ 19,55 = 2,601 Ω

R_eq = R₁ + 2,601 = 25 + 2,601 = 27,6 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27,6 = 0,3623 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,3623·25 = 0,9423 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,9423/3 = 0,3141 A

Ответ

I_R2 = 0,3141 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I₂ = −1,35 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (V_A − V_k)/R_k, вытекающий из A, где V_k — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.

(V_A − 24)/8 + (V_A − 6)/6 + (V_A − 15)/8 = 0

Находим V_A

V_A = (24/8 + 6/6 + 15/8) / (1/8 + 1/6 + 1/8) = 5,875/0,4167 = 14,1 V

Ток ветви

Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.

I₂ = (6 − V_A)/R₂ = (6 − 14,1)/6 = −1,35 A

Ответ

I₂ = −1,35 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: I_R4 = 5,864 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V₁ = 36 V, V₂ = −15 V). Неизвестные: V_A, V_B.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 36)/8 + (V_A − V_B)/4 = 0

0,5417·V_A − 0,25·V_B = 4,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − (−15))/3 = 5

−0,25·V_A + 0,9167·V_B = 0

Решите

Δ = (0,5417)(0,9167) − (−0,25)(−0,25) = 0,434

V_A = Δ₁/Δ = 4,125/0,434 = 9,504 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,125/0,434 = 2,592 V

Ответ

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (2,592 − −15)/3 = 5,864 A

5.Метод контурных токов

Ответ: I₂ = −1,277 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 24

17·I₁ − 12·I₂ = 24

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−24)

−12·I₁ + 14·I₂ = −24

Решите

Δ = (17)(14) − (−12)(−12) = 94

I₁ = Δ₁/Δ = 48/94 = 0,5106 A

I₂ = Δ₂/Δ = −120/94 = −1,277 A

Ответ

I₂ = −1,277 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: V_R2 = 0,2178 V

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 6

30·I₁ − 25·I₂ = 6

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 30·I₂ − 3·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−15)

−3·I₂ + 11·I₃ = −15

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 2755

I₁ = Δ₁/Δ = 801/2755 = 0,2907 A

I₂ = Δ₂/Δ = 300/2755 = 0,1089 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3675/2755 = −1,334 A

Ответ

I_R2 = I₂ = 0,1089 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0,1089·2 = 0,2178 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: I = 14 mA

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Записываем отклик как сумму вкладов

Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.

I = k₁·V_s + k₂·I_s

6·k₁ + 10·k₂ = 14

12·k₁ + 1·k₂ = 18,5

Находим константы

Δ = (6)(1) − (10)(12) = −114

k₁ = Δ₁/Δ = −171/−114 = 1,5

k₂ = Δ₂/Δ = −57/−114 = 0,5

k₁ = 1,5 mA/V, k₂ = 0,5

Предсказываем новый ток

I = 1,5·8 + 0,5·4 = 14 mA

Ответ

I = 14 mA

8.Метод наложения

Ответ: I = 11,5 mA

Записываем измерения через вклады

Каждый вклад пропорционален своему источнику.

I₁ + I₂ + I₃ = 23

2·I₁ + I₂ + I₃ = 29,5

I₁ + I₂ − I₃ = 13

Находим вклады

I₁ = 29,5 − 23 = 6,5 mA

I₃ = (23 − 13)/2 = 5 mA

I₂ = 23 − 6,5 − 5 = 11,5 mA

Отключаем V₂

I = I₁ + I₃ = 6,5 + 5 = 11,5 mA

Ответ

I = 11,5 mA

9.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 12,62 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 8 = 12,62 Ω

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = −0,317 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 25·4/(25+4) = 3,448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,448 + 5 = 8,448 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,069 + (−1,5)·3,448 = −3,103 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −3,103 + (−1,5)·5 = −10,6 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −10,6/(8,448 + 25) = −0,317 A

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 1,638 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,4·22/(47 + 22) = 0,4464 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(−2,1 − 0,4464)/47 = (0,4464 − V_out)/22

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (22/47)·(1,4 − (−2,1)) = 1,638 V

Ответ

V_out = 1,638 V

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = 0,9 V

Коэффициент усиления каждого каскада

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/22 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/1 = 3

Каскад за каскадом

V₁ = −1·(−0,3) = 0,3 V

V_out = 3·0,3 = 0,9 V

Ответ

V_out = 0,9 V

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 2,417 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/1,1 = 2,417 V

Ответ

v_L = 2,417 V

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 34,74 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 10 + (30 − 10)·e^−t/τ

Выразите время

22 = 10 + (20)·e^−t/τ → e^−t/τ = (22 − 10)/(30 − 10) = 0,6

t = τ·ln((30 − 10)/(22 − 10)) = 68·ln(1,667) = 34,74 ms

Ответ

t = 34,74 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

ЗТК в узле A

Находим VA

Ток ветви

Ответ

Определите узлы

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Записываем отклик как сумму вкладов

Находим константы

Предсказываем новый ток

Ответ

Записываем измерения через вклады

Находим вклады

Отключаем V₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Напряжение на входах

ЗТК на инвертирующем входе

Ответ

Коэффициент усиления каждого каскада

Каскад за каскадом

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Напряжение на катушке

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Находим V_A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода