Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBR6​4 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 ΩR5 = 4 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBIs​3 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​15 ΩBIs​?

Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 9,5 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).

V1 = 5 VR1 = 20 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 ΩVA = 9,5 V
Is = A
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 20 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​10 VR3​3 ΩA+−V2​9 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I2 (по часовой стрелке).

V1 = 10 VV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
I2 = A
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩIR2​R3​ = 4 Ω+−V1​10 VR4​15 ΩAR5​8 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 10 VV2 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 ΩR5 = 8 Ω
IR2 = A
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩIR2​AR4​5 ΩBIs​3 A

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 6 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 ΩIR4​+−V1​24 VR3​25 ΩAIs​0,5 AB+−V2​5 V

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.

V1 = 24 VIs = 0,5 AV2 = 5 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 Ω
IR4 = A
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAIs​6 ABab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 47 kΩVin​ = −1,9 V

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.

Vin = −1,9 VR1 = 47 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −0,3 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1 VR2​ = 100 kΩ

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.

V1 = −0,3 VV2 = 1 VR1 = 10 kΩR2 = 100 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​12 Vt = 0R = 50 ΩL68 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

Vs = 12 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 Vt = 0R = 4,7 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 150 ms.

Vs = 20 VR = 4,7 kΩC = 33 µFvC(0) = 12 Vt = 150 ms
vC = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,477 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 20·17/(20+17) = 9,189 Ω
Req = R1 + 9,189 = 3 + 9,189 = 12,19 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/12,19 = 1,477 A

Ответ

IR1 = 1,477 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 32,33 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBR6​4 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 4 + 4 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4,444 Ω
R3 + 4,444 = 10,44 Ω
R2 ∥ 10,44 = 2,331 Ω
Req = R1 + 2,331 = 30 + 2,331 = 32,33 Ω

Ответ

Req = 32,33 Ω
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = 1,6 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBIs​3 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 30 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/15 + (VA − 30)/10 + (VA − VB)/10 = 0
0,2667·VA − 0,1·VB = 3

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/10 = 3
−0,1·VA + 0,6·VB = 3

Решите

Δ = (0,2667)(0,6) − (−0,1)(−0,1) = 0,15
VA = Δ1/Δ = 2,1/0,15 = 14 V
VB = Δ2/Δ = 1,1/0,15 = 7,333 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (30 − 14)/10 = 1,6 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: Is = 1,48 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(9,5 − 5)/20 + 9,5/25 = (VB − 9,5)/6
0,605 = (VB − 9,5)/6 → VB = 13,13 V

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (13,13 − 9,5)/6 + 13,13/15 = 1,48 A

Ответ

Is = 1,48 A
5.Метод контурных токов

Ответ: I2 = −1,011 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 20 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​10 VR3​3 ΩA+−V2​9 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
20·I1 + 3(I1 − I2) = 10
23·I1 − 3·I2 = 10

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 3(I2 − I1) = (−9)
−3·I1 + 8·I2 = −9

Решите

Δ = (23)(8) − (−3)(−3) = 175
I1 = Δ1/Δ = 53/175 = 0,3029 A
I2 = Δ2/Δ = −177/175 = −1,011 A

Ответ

I2 = −1,011 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: IR2 = −0,4466 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​10 VR4​15 ΩAR5​8 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
3·I1 + 15(I1 − I2) = 10
18·I1 − 15·I2 = 10

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
12·I2 + 15(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 35·I2 − 8·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 8(I3 − I2) = (−24)
−8·I2 + 12·I3 = −24

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 3708
I1 = Δ1/Δ = 680/3708 = 0,1834 A
I2 = Δ2/Δ = −1656/3708 = −0,4466 A
I3 = Δ3/Δ = −8520/3708 = −2,298 A

Ответ

IR2 = I2 = −0,4466 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: IR2 = 1,023 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​5 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 15+5 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω
VA = 6·3,333/(4+3,333) = 2,727 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 2,727·5/20 = 0,6818 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (2,727 − 0)/4 = 0,6818 A
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​4 ΩAR4​5 ΩBIs​3 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 5 ∥ 17 = 3,864 Ω
VB = Is·Req = 3·3,864 = 11,59 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 11,59·2/17 = 1,364 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (1,364 − 0)/4 = 0,3409 A

Сложите составляющие

IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 0,6818 + 0,3409 = 1,023 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

8.Метод наложения

Ответ: IR4 = 0,7297 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 6 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​24 VR3​25 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 25 ∥ 25 = 12,5 Ω
VA = 24·12,5/(6+12,5) = 16,22 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 16,22·15/25 = 9,73 V
IR4′ = (VB − V2)/R4 = (9,73 − 0)/15 = 0,6486 A
R1​ = 6 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 ΩКЗR3​25 ΩAIs​0,5 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,839 Ω, поэтому левый путь — R2+4,839 = 14,84 Ω
Req = R4 ∥ 14,84 = 7,459 Ω
VB = Is·Req = 0,5·7,459 = 3,73 V
VA = VB·4,839/14,84 = 1,216 V
IR4″ = (VB − V2)/R4 = (3,73 − 0)/15 = 0,2486 A
R1​ = 6 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 15 ΩКЗR3​25 ΩAОБРЫВB+−V2​5 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 5·14,84/29,84 = 2,486 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 2,486·4,839/14,84 = 0,8108 V
IR4‴ = (VB − V2)/R4 = (2,486 − 5)/15 = −0,1676 A

Сложите составляющие

IR4 = IR4′ + IR4″ + IR4‴
IR4 = 0,6486 + 0,2486 + (−0,1676) = 0,7297 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 0,6522 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​10 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 6 = 7,667 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·10/(2+10) = 5 V
IN​0,6522 ARth​7,667 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 5/7,667 = 0,6522 A
10.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 6,052 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​3 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 20 = 22,31 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,154 + 6·2,308 = 15 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15 + 6·20 = 135 V
IN​6,052 ARth​22,31 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 135/22,31 = 6,052 A
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vout = −3,8 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = −1,9 V
I = V₋/R1 = −1,9/47 = −0,04043 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = −1,9 + (−0,04043)·47 = −3,8 V

Ответ

Vout = −3,8 V
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vout = 0,44 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I1 = V1/R1 = −0,3/10 = −0,03 mA
I2 = V2/R2 = 1/100 = 0,01 mA
If = I1 + I2 = −0,02 mA

Выходное напряжение

Vout = −Rf·If = −22·(−0,02) = 0,44 V

Ответ

Vout = 0,44 V
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,125 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms
i(∞) = Vs/R = 12/50 = 0,24 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,24·(1 − e−1/1,36) = 0,125 A

Ответ

i = 0,125 A
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 16,96 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms
vC(t) = 20 + (12 − 20)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(150) = 20 + (−8)·e−150/155,1 = 16,96 V

Ответ

vC = 16,96 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1