Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения Vs и один источник тока Is. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при Vs = 8 V и Is = 8 mA I = −3,2 mA; при Vs = 12 V и Is = 8 mA I = −2,4 mA. Найдите ток нагрузки I при Vs = 12 V и Is = 10 mA.
8 V, 8 mA → −3,2 mA12 V, 8 mA → −2,4 mAVs = 12 V, Is = 10 mA
I = mA
8.Метод наложенияСложная
Найдите значение источника напряжения V2 (полярность как на схеме), при котором ток IR3 через R3 равен нулю.
ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±14 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала Vin,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.
R1 = 2 kΩRf = 10 kΩVsat = ±14 V
Vin,max = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение Vin = −2,2 V. Через какое время после t = 0 выход достигнет насыщения? Найдите t.
Vin = −2,2 VR = 2,2 kΩC = 0,1 µFVsat = ±13 V
t = ms
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.
i(0) = 2 AR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 60 ms.
Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 33 µFt = 60 ms
vC = V
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,741 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 2·35/(2+35) = 1,892 Ω
Req = R1 + 1,892 = 5 + 1,892 = 6,892 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 12/6,892 = 1,741 A
Ответ
IR1 = 1,741 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 23,38 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 2 + 25 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 9,643 Ω
R3 + 9,643 = 21,64 Ω
R2 ∥ 21,64 = 3,376 Ω
Req = R1 + 3,376 = 20 + 3,376 = 23,38 Ω
Ответ
Req = 23,38 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR3 = 2,389 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 9)/20 + (VA − VB)/5 = 0
0,4167·VA − 0,2·VB = 0,45
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 5 V, V2 = 10 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 5)/15 + (VA − VB)/30 = 0
0,225·VA − 0,03333·VB = 0,3333
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 20(I1 − I2) = 15
23·I1 − 20·I2 = 15
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
8·I2 + 20(I2 − I1) = (−9)
−20·I1 + 28·I2 = −9
Решите
Δ = (23)(28) − (−20)(−20) = 244
I1 = Δ1/Δ = 240/244 = 0,9836 A
I2 = Δ2/Δ = 93/244 = 0,3811 A
Ответ
IR2 = I2 = 0,3811 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: I1 = 2,326 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
6·I1 + 5(I1 − I2) = 24
11·I1 − 5·I2 = 24
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
12·I2 + 5(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 20·I2 − 3·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
5·I3 + 3(I3 − I2) = (−15)
−3·I2 + 8·I3 = −15
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 1461
I1 = Δ1/Δ = 3399/1461 = 2,326 A
I2 = Δ2/Δ = 465/1461 = 0,3183 A
I3 = Δ3/Δ = −2565/1461 = −1,756 A
Ответ
I1 = 2,326 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: I = −3,6 mA
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Записываем отклик как сумму вкладов
Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.
I = k₁·Vs + k₂·Is
8·k₁ + 8·k₂ = −3,2
12·k₁ + 8·k₂ = −2,4
Находим константы
Δ = (8)(8) − (8)(12) = −32
k₁ = Δ1/Δ = −6,4/−32 = 0,2
k₂ = Δ2/Δ = 19,2/−32 = −0,6
k₁ = 0,2 mA/V, k₂ = −0,6
Предсказываем новый ток
I = 0,2·12 + (−0,6)·10 = −3,6 mA
Ответ
I = −3,6 mA
8.Метод наложения
Ответ: V2 = 10 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 6 ∥ 12 = 4 Ω
VA = 10·4/(20+4) = 1,667 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 1,667·4/12 = 0,5556 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 4,615 Ω, поэтому левый путь — R2+4,615 = 12,62 Ω
Req = R4 ∥ 12,62 = 3,037 Ω
VB = −Is·Req = −4·3,037 = −12,15 V
VA = VB·4,615/12,62 = −4,444 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 4,615 Ω
VA‴ = V2·4,615/(4 + 8 + 4,615) = 0,2778·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 10 = 17,5 Ω
10.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 76,44 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 2 = 5,429 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 17,14 + 6·3,429 = 37,71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 37,71 + 6·2 = 49,71 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 49,71/(5,429 + 20) = 1,955 A
PL = IL²·RL = 1,955²·20 = 76,44 W
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vin,max = 2,333 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления
Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 10/2 = 6
Наибольший вход до ограничения
Vin,max = Vsat/|Av| = 14/6 = 2,333 V
Ответ
Vin,max = 2,333 V
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: t = 1,3 ms
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входной ток и скорость нарастания
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
RC = 2,2 kΩ · 0,1 µF = 0,22 ms
скорость нарастания = −Vin/(RC) = −(−2,2)/0,22 = 10 V/ms
Время до насыщения
|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 13·0,22/2,2 = 1,3 ms
Ответ
t = 1,3 ms
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,7358 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms
Убывание тока
i(t) = 2·e−1/1 = 0,7358 A
Ответ
i = 0,7358 A
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 0,7891 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.