Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​6 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​4 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 6 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​20 Ω+−V1​30 VR2​3 Ω+−V2​10 VI2​R3​3 Ω+−V3​12 VA

Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I2 в ветви 2, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩV2 = 10 VR2 = 3 ΩV3 = 12 VR3 = 3 Ω
I2 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 25 ΩR2​ = 5 ΩIR2​R4​ = 5 Ω+−V1​6 VR3​25 ΩAR5​20 ΩBIs​4 A+−V2​24 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 6 VIs = 4 AV2 = 24 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 Ω
IR2 = A
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 3 Ω+−VR1​R2​ = 20 Ω+−V1​9 VR3​4 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR1 на R1 с указанной полярностью.

V1 = 9 VV2 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 Ω
VR1 = V
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 20 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​10 VR4​25 ΩAR5​20 Ω+−VR5​B+−V2​36 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR5 на R5 с указанной полярностью.

V1 = 10 VV2 = 36 VR1 = 20 ΩR2 = 25 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 Ω
VR5 = V
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​10 Ω+−VR4​BIs​1 A

Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR4 на R4 с указанной полярностью.

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
VR4 = V
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 6 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 6 Ω+−V1​5 VR3​15 Ω−+VR3​AIs​1 AB+−V2​6 V

Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR3 на R3 с указанной полярностью.

V1 = 5 VIs = 1 AV2 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 Ω
VR3 = V
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAIs​1,5 ABRL​12 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 12 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 36 VIs = 1,5 AR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩRL = 12 Ω
PL = W
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​R2​ = 1 kΩV1​ = 0,5 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 1,7 VR3​ = 4,7 kΩR4​ = 1 kΩ

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R3 = R1 и R4 = R2. Найдите напряжение V− на инвертирующем входе.

V1 = 0,5 VV2 = 1,7 VR1 = R3 = 4,7 kΩR2 = R4 = 1 kΩ
V− = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = −0,1 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0,6 VR3​ = 100 kΩR4​ = 47 kΩ

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Отношения резисторов не согласованы. Найдите выходное напряжение Vout.

V1 = −0,1 VV2 = 0,6 VR1 = 1 kΩR2 = 10 kΩR3 = 100 kΩR4 = 47 kΩ
Vout = V
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​15 Vt = 0R = 20 ΩL150 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 20 ms.

Vs = 15 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 20 ms
i = A
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​15 Vt = 0R = 3,3 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.

Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 100 µFvC(0) = 8 Vt = 400 ms
vC = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 11,75 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​6 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 15 + 6 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 15·21/(15+21) = 8,75 Ω
Req = R1 + 8,75 = 3 + 8,75 = 11,75 Ω

Ответ

Req = 11,75 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,1262 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​6 ΩBR6​4 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 5 + 4 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 3,6 Ω
R3 + 3,6 = 15,6 Ω
R2 ∥ 15,6 = 4,333 Ω
Req = R1 + 4,333 = 30 + 4,333 = 34,33 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/34,33 = 0,1748 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,1748·30 = 0,7573 V
IR2 = VA/R2 = 0,7573/6 = 0,1262 A

Ответ

IR2 = 0,1262 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I2 = −0,7752 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.

(VA − 30)/20 + (VA − 10)/3 + (VA − 12)/3 = 0

Находим VA

VA = (30/20 + 10/3 + 12/3) / (1/20 + 1/3 + 1/3) = 8,833/0,7167 = 12,33 V

Ток ветви

Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.

I2 = (10 − VA)/R2 = (10 − 12,33)/3 = −0,7752 A

Ответ

I2 = −0,7752 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR2 = −1,498 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 25 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 5 Ω+−V1​6 VR3​25 ΩAR5​20 ΩBIs​4 A+−V2​24 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V, V2 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 6)/25 + (VA − VB)/5 = 0
0,28·VA − 0,2·VB = 0,24

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/20 + (VB − VA)/5 + (VB − 24)/5 = 4
−0,2·VA + 0,45·VB = 8,8

Решите

Δ = (0,28)(0,45) − (−0,2)(−0,2) = 0,086
VA = Δ1/Δ = 1,868/0,086 = 21,72 V
VB = Δ2/Δ = 2,512/0,086 = 29,21 V

Ответ

IR2 = (VA − VB)/R2 = (21,72 − 29,21)/5 = −1,498 A
5.Метод контурных токов

Ответ: VR1 = 3,474 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 3 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​9 VR3​4 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 4(I1 − I2) = 9
7·I1 − 4·I2 = 9

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 4(I2 − I1) = (−10)
−4·I1 + 24·I2 = −10

Решите

Δ = (7)(24) − (−4)(−4) = 152
I1 = Δ1/Δ = 176/152 = 1,158 A
I2 = Δ2/Δ = −34/152 = −0,2237 A

Ответ

IR1 = I1 = 1,158 A
VR1 = IR1·R1 = 1,158·3 = 3,474 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: VR5 = 13,54 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 20 ΩR2​ = 25 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​10 VR4​25 ΩAR5​20 ΩB+−V2​36 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
20·I1 + 25(I1 − I2) = 10
45·I1 − 25·I2 = 10

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
25·I2 + 25(I2 − I1) + 20(I2 − I3) = 0
−25·I1 + 70·I2 − 20·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
25·I3 + 20(I3 − I2) = (−36)
−20·I2 + 45·I3 = −36

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 95625
I1 = Δ1/Δ = 9500/95625 = 0,09935 A
I2 = Δ2/Δ = −21150/95625 = −0,2212 A
I3 = Δ3/Δ = −85900/95625 = −0,8983 A

Ответ

IR5 = I2 − I3 = 0,6771 A
VR5 = IR5·R5 = 0,6771·20 = 13,54 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: VR4 = 7,246 V

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAR4​10 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 6+10 = 16 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 10·16/(10+16) = 6,154 Ω
VA = 9·6,154/(12+6,154) = 3,051 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 3,051·10/16 = 1,907 V
VR4′ = VB − 0 = 1,907 − 0 = 1,907 V
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​10 ΩAR4​10 ΩBIs​1 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 10 ∥ 11,45 = 5,339 Ω
VB = Is·Req = 1·5,339 = 5,339 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 5,339·5,455/11,45 = 2,542 V
VR4″ = VB − 0 = 5,339 − 0 = 5,339 V

Сложите составляющие

VR4 = VR4′ + VR4″
VR4 = 1,907 + 5,339 = 7,246 V

Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.

8.Метод наложения

Ответ: VR3 = −4,595 V

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 6 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 6 Ω+−V1​5 VR3​15 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 15 ∥ 31 = 10,11 Ω
VA = 5·10,11/(6+10,11) = 3,138 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3,138·6/31 = 0,6073 V
VR3′ = 0 − VA = 0 − 3,138 = −3,138 V
R1​ = 6 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 6 ΩКЗR3​15 ΩAIs​1 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,286 Ω, поэтому левый путь — R2+4,286 = 29,29 Ω
Req = R4 ∥ 29,29 = 4,98 Ω
VB = Is·Req = 1·4,98 = 4,98 V
VA = VB·4,286/29,29 = 0,7287 V
VR3″ = 0 − VA = 0 − 0,7287 = −0,7287 V
R1​ = 6 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 6 ΩКЗR3​15 ΩAОБРЫВB+−V2​6 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 6·29,29/35,29 = 4,98 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 4,98·4,286/29,29 = 0,7287 V
VR3‴ = 0 − VA = 0 − 0,7287 = −0,7287 V

Сложите составляющие

VR3 = VR3′ + VR3″ + VR3‴
VR3 = (−3,138) + (−0,7287) + (−0,7287) = −4,595 V

Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: Vth = 10,29 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​3 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 15 = 16,71 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·3/(4+3) = 10,29 V
10.Тевенин и Нортон

Ответ: PL = 23,86 W

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​15 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 8 = 16,57 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAIs​1,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 15,43 + 1,5·8,571 = 28,29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28,29 + 1,5·8 = 40,29 V
Rth​ = 16,57 Ω+−Vth​40,29 VRL​12 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 40,29/(16,57 + 12) = 1,41 A
PL = IL²·RL = 1,41²·12 = 23,86 W
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V− = 0,2982 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,7·1/(4,7 + 1) = 0,2982 V
V₋ = V₊

Ответ

V− = 0,2982 V
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vout = 3,11 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входе +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,6·47/(100 + 47) = 0,1918 V

Наложение двух входов

При V₂ = 0 для V₁ схема — инвертирующий усилитель. При V₁ = 0 V₊ усиливается с коэффициентом неинвертирующего усилителя 1 + R₂/R₁.

Vout = −(10/1)·(−0,1) + (1 + 10/1)·0,1918 = 1 + 2,11 = 3,11 V

Ответ

Vout = 3,11 V
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,6979 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms
i(∞) = Vs/R = 15/20 = 0,75 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,75·(1 − e−20/7,5) = 0,6979 A

Ответ

i = 0,6979 A
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 12,92 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 100 µF = 330 ms
vC(t) = 15 + (8 − 15)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(400) = 15 + (−7)·e−400/330 = 12,92 V

Ответ

vC = 12,92 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1