Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт V_B − V_A = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите ток I_x через источник напряжения от A к B, как показано стрелкой.

I_s = 1 AV_s = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 Ω

I_x = A

4.Метод узловых потенциаловСложная

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт V_B − V_A = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение V_B (относительно земли).

V₁ = 30 VI_s = 5 AV_s = 5 VR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 Ω

V_B = V

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₁ (по часовой стрелке).

V₁ = 12 VV₂ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 Ω

I₁ = A

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I₃ (по часовой стрелке).

V₁ = 5 VV₂ = 36 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 Ω

I₃ = A

7.Метод наложенияСредняя

Найдите значение источника тока I_s (направление как на схеме), при котором ток I_R3 через R₃ равен нулю.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

I_s = A

8.Метод наложенияСложная

Линейная резистивная цепь содержит три независимых источника: V₁, V₂ и I_s. Ток I через нагрузку измерен три раза. При номинальных значениях всех источников I = 2,5 mA. Если V₁ удвоить, а два других оставить без изменений, I = 10 mA. Если изменить направление I_s на противоположное, а два других оставить без изменений, I = 25,5 mA. Найдите ток нагрузки I, если V₂ отключён, а V₁ и I_s имеют номинальные значения.

номинальные значения: I = 2,5 mA2·V₁: I = 10 mA−I_s: I = 25,5 mA

I = mA

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

10.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 9 VI_s = 2,5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R₃ = R₁ и R₄ = R₂. Найдите выходное напряжение V_out.

V₁ = 2,8 VV₂ = 1,3 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = 1,8 VV₂ = 1,9 VR₁ = 47 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,5 A? Найдите t.

i(0) = 1 AR = 47 ΩL = 220 mH

t = ms

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 10 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 60 ms.

V_s = 12 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 10 Vt = 60 ms

v_C = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,3324 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 6 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 4·26/(4+26) = 3,467 Ω

R_eq = R₁ + 3,467 = 20 + 3,467 = 23,47 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/23,47 = 0,3835 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,3835·20 = 1,33 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,33/4 = 0,3324 A

Ответ

I_R2 = 0,3324 A

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,767 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 9,375 Ω

R₃ + 9,375 = 12,38 Ω

R₂ ∥ 12,38 = 7,645 Ω

R_eq = R₁ + 7,645 = 8 + 7,645 = 15,64 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/15,64 = 0,767 A

Ответ

I_R1 = 0,767 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I_x = 0,7778 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

V_B = V_A + V_s = V_A + 6

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

Решите

V_A/15 + (V_A + 6)/12 = 1

V_A = (1 − 6/12)/(1/15 + 1/12) = 3,333 V

V_B = 3,333 + 6 = 9,333 V

Ток через источник напряжения

Всё, что проходит через источник от A к B, уходит из узла B через R₂.

I_x = V_B/R₂ = 9,333/12 = 0,7778 A

Ответ

I_x = 0,7778 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: V_B = 16,42 V

Образуем супер-узел

V_B = V_A + 5

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

Решите

(V_A − 30)/20 + V_A/25 + (V_A + 5)/3 = 5

V_A·(1/20 + 1/25 + 1/3) = 5 + 30/20 − 5/3 = 4,833

V_A = 4,833/0,4233 = 11,42 V

V_B = 16,42 V

Ответ

V_B = 16,42 V

5.Метод контурных токов

Ответ: I₁ = 0,07692 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 12

20·I₁ − 8·I₂ = 12

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−15)

−8·I₁ + 11·I₂ = −15

Решите

Δ = (20)(11) − (−8)(−8) = 156

I₁ = Δ₁/Δ = 12/156 = 0,07692 A

I₂ = Δ₂/Δ = −204/156 = −1,308 A

Ответ

I₁ = 0,07692 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I₃ = −1,037 A

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 5

35·I₁ − 20·I₂ = 5

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 50·I₂ − 5·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

30·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−36)

−5·I₂ + 35·I₃ = −36

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 46375

I₁ = Δ₁/Δ = 5025/46375 = 0,1084 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2800/46375 = −0,06038 A

I₃ = Δ₃/Δ = −48100/46375 = −1,037 A

Ответ

I₃ = −1,037 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: I_s = 1,875 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Случай 1 · действует только V₁

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R₃+R₄ = 4+8 = 12 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

V_A = 30·7,5/(20+7,5) = 8,182 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 8,182·8/12 = 5,455 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (8,182 − 5,455)/4 = 0,6818 A

Случай 2 · действует только I_s

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ ∥ R₂ подключены между A и землёй. Iₛ делится в узле B между R₄ и ветвью R₃ + R₁∥R₂; часть через R₃ течёт от B к A, против стрелки.

R₁ ∥ R₂ = 10 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·8/22 = −0,3636·I_s

Приравниваем сумму к нулю

I_R3′ + I_R3″ = 0,6818 − 0,3636·I_s = 0

I_s = 0,6818/0,3636 = 1,875 A

Ответ

I_s = 1,875 A

8.Метод наложения

Ответ: I = −4 mA

Записываем измерения через вклады

Каждый вклад пропорционален своему источнику.

I₁ + I₂ + I₃ = 2,5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 10

I₁ + I₂ − I₃ = 25,5

Находим вклады

I₁ = 10 − 2,5 = 7,5 mA

I₃ = (2,5 − 25,5)/2 = −11,5 mA

I₂ = 2,5 − 7,5 − (−11,5) = 6,5 mA

Отключаем V₂

I = I₁ + I₃ = 7,5 + (−11,5) = −4 mA

Ответ

I = −4 mA

9.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 8 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,444 + 20 = 24,44 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·8/(10+8) = 8 V

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 2,935 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,316 + 10 = 16,32 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,105 + 2,5·6,316 = 22,89 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22,89 + 2,5·10 = 47,89 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 47,89/16,32 = 2,935 A

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −0,3191 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,3·10/(47 + 10) = 0,2281 V

V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(2,8 − 0,2281)/47 = (0,2281 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/47)·(1,3 − 2,8) = −0,3191 V

Ответ

V_out = −0,3191 V

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = 0,1247 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = 1,8/47 = 0,0383 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,9/22 = 0,08636 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1247 mA

Ответ

I_f = 0,1247 mA

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 3,245 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

Выразите время

0,5 = 1·e^−t/τ → t = τ·ln(1/0,5)

t = 4,681·ln(2) = 3,245 ms

Ответ

t = 3,245 ms

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 10,9 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 12 + (10 − 12)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(60) = 12 + (−2)·e^−60/100 = 10,9 V

Ответ

v_C = 10,9 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ток через R₂

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Образуем супер-узел

Решите

Ток через источник напряжения

Ответ

Образуем супер-узел

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Случай 1 · действует только V1

Случай 2 · действует только Is

Приравниваем сумму к нулю

Ответ

Записываем измерения через вклады

Находим вклады

Отключаем V₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Напряжение на входах

ЗТК на инвертирующем входе

Ответ

Входные токи

Ответ

Постоянная времени

Выразите время

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение в заданный момент

Ответ

Случай 1 · действует только V₁

Случай 2 · действует только I_s

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода