Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Is = 1,5 AVs = 8 VR1 = 6 ΩR2 = 6 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VA (относительно земли).
Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения Vs и один источник тока Is. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при Vs = 2 V и Is = 8 mA I = −5,6 mA; при Vs = 6 V и Is = 5 mA I = −2,55 mA. Найдите ток нагрузки I при Vs = 6 V и Is = 10 mA.
2 V, 8 mA → −5,6 mA6 V, 5 mA → −2,55 mAVs = 6 V, Is = 10 mA
I = mA
8.Метод наложенияСложная
Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR3 на R3 с указанной полярностью.
ОУ идеальный и питается от источников ±15 V; его выход насыщается на уровне ±13 V. На неинвертирующий усилитель подаётся синусоидальный сигнал. Найдите наибольшую амплитуду входного сигнала Vin,max (пиковое значение), при которой выход не ограничивается.
R1 = 1 kΩRf = 4,7 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R1, Rf1), за ним неинвертирующий (R2 на землю, Rf2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Найдите общий коэффициент усиления по напряжению Av = Vout/Vin.
R1 = 10 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 22 kΩRf2 = 2 kΩ
Av =
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.
Vs = 12 VR = 15 ΩL = 220 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 750 ms.
Vs = 9 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 12 Vt = 750 ms
vC = V
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 12,73 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 2 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Req = R1 + 2,727 = 10 + 2,727 = 12,73 Ω
Ответ
Req = 12,73 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 6,858 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 8 + 20 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 6,222 Ω
R3 + 6,222 = 26,22 Ω
R2 ∥ 26,22 = 1,858 Ω
Req = R1 + 1,858 = 5 + 1,858 = 6,858 Ω
Ответ
Req = 6,858 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 8,5 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 8
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/6 + (VA + 8)/6 = 1,5
VA = (1,5 − 8/6)/(1/6 + 1/6) = 0,5 V
VB = 0,5 + 8 = 8,5 V
Ответ
VB = 8,5 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 1,858 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = −36 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/6 + (VA − 10)/25 + (VA − VB)/30 = 0
0,24·VA − 0,03333·VB = 0,4
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 6(I1 − I2) = 9
10·I1 − 6·I2 = 9
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 6(I2 − I1) = (−15)
−6·I1 + 26·I2 = −15
Решите
Δ = (10)(26) − (−6)(−6) = 224
I1 = Δ1/Δ = 144/224 = 0,6429 A
I2 = Δ2/Δ = −96/224 = −0,4286 A
Ответ
I1 = 0,6429 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR4 = 0,1682 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
2·I1 + 25(I1 − I2) = 5
27·I1 − 25·I2 = 5
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
10·I2 + 25(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−25·I1 + 38·I2 − 3·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
20·I3 + 3(I3 − I2) = (−10)
−3·I2 + 23·I3 = −10
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 8980
I1 = Δ1/Δ = 3575/8980 = 0,3981 A
I2 = Δ2/Δ = 2065/8980 = 0,23 A
I3 = Δ3/Δ = −3635/8980 = −0,4048 A
Ответ
IR4 = I1 − I2 = 0,1682 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: I = −6,3 mA
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Записываем отклик как сумму вкладов
Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.
I = k₁·Vs + k₂·Is
2·k₁ + 8·k₂ = −5,6
6·k₁ + 5·k₂ = −2,55
Находим константы
Δ = (2)(5) − (8)(6) = −38
k₁ = Δ1/Δ = −7,6/−38 = 0,2
k₂ = Δ2/Δ = 28,5/−38 = −0,75
k₁ = 0,2 mA/V, k₂ = −0,75
Предсказываем новый ток
I = 0,2·6 + (−0,75)·10 = −6,3 mA
Ответ
I = −6,3 mA
8.Метод наложения
Ответ: VR3 = 2,625 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 3 ∥ 12 = 2,4 Ω
VA = 9·2,4/(4+2,4) = 3,375 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3,375·8/12 = 2,25 V
VR3′ = VA − 0 = 3,375 − 0 = 3,375 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 1,714 Ω, поэтому левый путь — R2+1,714 = 5,714 Ω
Req = R4 ∥ 5,714 = 3,333 Ω
VB = Is·Req = 0,5·3,333 = 1,667 V
VA = VB·1,714/5,714 = 0,5 V
VR3″ = VA − 0 = 0,5 − 0 = 0,5 V
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−10)·5,714/13,71 = −4,167 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −4,167·1,714/5,714 = −1,25 V
VR3‴ = VA − 0 = −1,25 − 0 = −1,25 V
Сложите составляющие
VR3 = VR3′ + VR3″ + VR3‴
VR3 = 3,375 + 0,5 + (−1,25) = 2,625 V
Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,2542 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 10 = 16,67 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·15/(12+15) = 5 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 5/(16,67 + 3) = 0,2542 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 38,15 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·25/(2+25) = 1,852 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,852 + 10 = 11,85 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,556 + 4·1,852 = 12,96 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,96 + 4·10 = 52,96 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 52,96/(11,85 + 3) = 3,566 A
PL = IL²·RL = 3,566²·3 = 38,15 W
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vin,max = 2,281 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления
Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 4,7/1 = 5,7
Наибольший вход до ограничения
Vin,max = Vsat/|Av| = 13/5,7 = 2,281 V
Ответ
Vin,max = 2,281 V
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Av = −1,091
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления каждого каскада
A1 = −Rf1/R1 = −10/10 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 2/22 = 1,091
Общий коэффициент усиления
Av = A1·A2 = −1·1,091 = −1,091
Ответ
Av = −1,091
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 43,94 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms
i(∞) = Vs/R = 12/15 = 0,8 A
Выразите время
0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −14,67·ln(0,05) = 43,94 ms
Ответ
t = 43,94 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 11,13 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.