Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩV2 = 12 VR2 = 4 ΩR3 = 8 Ω
I1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 8 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения Vs и один источник тока Is. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при Vs = 5 V и Is = 8 mA I = −3 mA; при Vs = 12 V и Is = 5 mA I = 3,45 mA. Найдите ток нагрузки I при Vs = 20 V и Is = 4 mA.
5 V, 8 mA → −3 mA12 V, 5 mA → 3,45 mAVs = 20 V, Is = 4 mA
I = mA
8.Метод наложенияСложная
Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR3 через R3 в направлении стрелки.
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.
Vs = 30 VR1 = 2,2 kΩR2 = 1 kΩC = 22 µF
τ = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.
Vs = 24 VR = 4,7 kΩC = 68 µFvC(0) = 20 Vt = 400 ms
vC = V
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,554 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 15·13/(15+13) = 6,964 Ω
Req = R1 + 6,964 = 2 + 6,964 = 8,964 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/8,964 = 3,347 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 3,347·2 = 23,31 V
IR2 = VA/R2 = 23,31/15 = 1,554 A
Ответ
IR2 = 1,554 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,4544 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 5,217 Ω
R3 + 5,217 = 35,22 Ω
R2 ∥ 35,22 = 10,52 Ω
Req = R1 + 10,52 = 8 + 10,52 = 18,52 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 12/18,52 = 0,648 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,648·8 = 6,816 V
IR2 = VA/R2 = 6,816/15 = 0,4544 A
Ответ
IR2 = 0,4544 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = 2,087 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 24)/5 + (VA − 12)/4 + VA/8 = 0
Находим VA
VA = (24/5 + 12/4 + 0/8) / (1/5 + 1/4 + 1/8) = 7,8/0,575 = 13,57 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (24 − VA)/R1 = (24 − 13,57)/5 = 2,087 A
Ответ
I1 = 2,087 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 4,633 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(8 − 15)/20 + 8/6 = (VB − 8)/3
0,9833 = (VB − 8)/3 → VB = 10,95 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (10,95 − 8)/3 + 10,95/3 = 4,633 A
Ответ
Is = 4,633 A
5.Метод контурных токов
Ответ: VR2 = −7,091 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 3(I1 − I2) = 12
15·I1 − 3·I2 = 12
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
2·I2 + 3(I2 − I1) = (−18)
−3·I1 + 5·I2 = −18
Решите
Δ = (15)(5) − (−3)(−3) = 66
I1 = Δ1/Δ = 6/66 = 0,09091 A
I2 = Δ2/Δ = −234/66 = −3,545 A
Ответ
IR2 = I2 = −3,545 A
VR2 = IR2·R2 = −3,545·2 = −7,091 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: I1 = 0,9298 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
5·I1 + 4(I1 − I2) = 9
9·I1 − 4·I2 = 9
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
6·I2 + 4(I2 − I1) + 25(I2 − I3) = 0
−4·I1 + 35·I2 − 25·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 25(I3 − I2) = (−9)
−25·I2 + 35·I3 = −9
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 4840
I1 = Δ1/Δ = 4500/4840 = 0,9298 A
I2 = Δ2/Δ = −765/4840 = −0,1581 A
I3 = Δ3/Δ = −1791/4840 = −0,37 A
Ответ
I1 = 0,9298 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: I = 9 mA
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Записываем отклик как сумму вкладов
Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.
I = k₁·Vs + k₂·Is
5·k₁ + 8·k₂ = −3
12·k₁ + 5·k₂ = 3,45
Находим константы
Δ = (5)(5) − (8)(12) = −71
k₁ = Δ1/Δ = −42,6/−71 = 0,6
k₂ = Δ2/Δ = 53,25/−71 = −0,75
k₁ = 0,6 mA/V, k₂ = −0,75
Предсказываем новый ток
I = 0,6·20 + (−0,75)·4 = 9 mA
Ответ
I = 9 mA
8.Метод наложения
Ответ: IR3 = 0,07576 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 30 ∥ 40 = 17,14 Ω
VA = 10·17,14/(30+17,14) = 3,636 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 3,636·10/40 = 0,9091 V
IR3′ = (VA − 0)/R3 = (3,636 − 0)/30 = 0,1212 A
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 15 Ω, поэтому левый путь — R2+15 = 45 Ω
Req = R4 ∥ 45 = 8,182 Ω
VB = Is·Req = 2,5·8,182 = 20,45 V
VA = VB·15/45 = 6,818 V
IR3″ = (VA − 0)/R3 = (6,818 − 0)/30 = 0,2273 A
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 30·30/(30+30) = 15 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−30)·45/55 = −24,55 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −24,55·15/45 = −8,182 V
IR3‴ = (VA − 0)/R3 = (−8,182 − 0)/30 = −0,2727 A
Сложите составляющие
IR3 = IR3′ + IR3″ + IR3‴
IR3 = 0,1212 + 0,2273 + (−0,2727) = 0,07576 A
Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 16 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 12 = 15,33 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·10/(5+10) = 16 V
10.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = −1,474 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 25 = 26,76 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0,7059 + (−1,5)·1,765 = −1,941 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1,941 + (−1,5)·25 = −39,44 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = −39,44/26,76 = −1,474 A
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 14,1 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (4 − 1)·4,7 = 14,1 kΩ
Ответ
Rf = 14,1 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −6,66 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = 0,8/47 = 0,01702 mA
I2 = V2/R2 = 1,4/1 = 1,4 mA
If = I1 + I2 = 1,417 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −4,7·1,417 = −6,66 V
Ответ
Vout = −6,66 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: τ = 15,13 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·1/(2,2 + 1) = 0,6875 kΩ
vC(∞) = 30·1/(2,2 + 1) = 9,375 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 0,6875·22 = 15,13 ms
Ответ
τ = 15,13 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 22,86 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.