Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 75% конечного значения? Найдите t.
Vs = 15 VR = 22 ΩL = 22 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 13,5 V? Найдите t.
Vs = 9 VR = 10 kΩC = 10 µFvC(0) = 18 V
t = ms
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 16,86 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω
Req = R1 + 6,857 = 10 + 6,857 = 16,86 Ω
Ответ
Req = 16,86 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,3067 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 12 + 25 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 7,872 Ω
R3 + 7,872 = 9,872 Ω
R2 ∥ 9,872 = 7,077 Ω
Req = R1 + 7,077 = 4 + 7,077 = 11,08 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 12/11,08 = 1,083 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,083·4 = 7,667 V
IR2 = VA/R2 = 7,667/25 = 0,3067 A
Ответ
IR2 = 0,3067 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: PIs = 68,16 W
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 12)/8 + (VA − VB)/6 = 0
0,4583·VA − 0,1667·VB = 1,5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Источник направляет ток Iₛ вверх в узел B, от земли (0 V) к VB. Источник, ток которого выходит из его вывода +, отдаёт мощность P = V·I.
PIs = VB·Is = 22,72·3 = 68,16 W
Ответ
PIs = 68,16 W
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 5,889 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 2(I1 − I2) = 24
6·I1 − 2·I2 = 24
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 2(I2 − I1) = (−18)
−2·I1 + 22·I2 = −18
Решите
Δ = (6)(22) − (−2)(−2) = 128
I1 = Δ1/Δ = 492/128 = 3,844 A
I2 = Δ2/Δ = −60/128 = −0,4688 A
Ответ
I2 = −0,4688 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: I2 = 0,2334 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
4·I1 + 25(I1 − I2) = 6
29·I1 − 25·I2 = 6
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
3·I2 + 25(I2 − I1) + 6(I2 − I3) = 0
−25·I1 + 34·I2 − 6·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 6(I3 − I2) = (−15)
−6·I2 + 36·I3 = −15
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 11952
I1 = Δ1/Δ = 4878/11952 = 0,4081 A
I2 = Δ2/Δ = 2790/11952 = 0,2334 A
I3 = Δ3/Δ = −4515/11952 = −0,3778 A
Ответ
I2 = 0,2334 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: PR2 = 19,9 W
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
R3+R4 = 15+5 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω
VA = 24·2,609/(6+2,609) = 7,273 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 7,273·5/20 = 1,818 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (7,273 − 0)/3 = 2,424 A
Случай 2 · действует только Is
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.
R1 ∥ R2 = 6·3/(6+3) = 2 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 5 ∥ 17 = 3,864 Ω
VB = Is·Req = 1·3,864 = 3,864 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 3,864·2/17 = 0,4545 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (0,4545 − 0)/3 = 0,1515 A
Складываем вклады токов
IR2 = IR2′ + IR2″ = 2,424 + 0,1515 = 2,576 A
Мощность в резисторе
Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.
PR2 = IR2²·R2 = 2,576²·3 = 19,9 W
Ответ
PR2 = 19,9 W
Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 17,7 W, что неверно.
8.Метод наложения
Ответ: V2 = 18 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 30 ∥ 12 = 8,571 Ω
VA = 12·8,571/(8+8,571) = 6,207 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 6,207·6/12 = 3,103 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 6,316 Ω, поэтому левый путь — R2+6,316 = 12,32 Ω
Req = R4 ∥ 12,32 = 4,034 Ω
VB = −Is·Req = −6·4,034 = −24,21 V
VA = VB·6,316/12,32 = −12,41 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 6,316 Ω
VA‴ = V2·6,316/(6 + 6 + 6,316) = 0,3448·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 4 = 7,429 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·8/(6+8) = 10,29 V
10.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 104,7 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 9,375 + 30 = 39,38 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,25 + 2,5·9,375 = 29,69 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 29,69 + 2,5·30 = 104,7 V
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 42,3 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (10 − 1)·4,7 = 42,3 kΩ
Ответ
Rf = 42,3 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −0,6859 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = 0,7/4,7 = 0,1489 mA
I2 = V2/R2 = −0,3/100 = −0,003 mA
If = I1 + I2 = 0,1459 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −4,7·0,1459 = −0,6859 V
Ответ
Vout = −0,6859 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 1,386 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0,6818 A
Выразите время
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −1·ln(0,25) = 1,386 ms
Ответ
t = 1,386 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 69,31 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.