Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа: ΣI_in = ΣI_out
Ток ветви: I = (V_a − V_b)/R
Опорный узел: V_ground = 0

Метод

Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
Выразите ток каждой ветви как (V_a − V_b)/R.
Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа: ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор: ток = I₁ − I₂
Источник тока в контуре: задаёт ток этого контура

Метод

Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения: короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока: разрыв (0 A)
Делитель напряжения: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Делитель тока: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Метод

Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неинвертирующий усилитель: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Суммирующий усилитель: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Идеальный ОУ: V₊ = V₋, I_in = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

3.Метод узловых потенциаловСредняя

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток I_R3 через R₃ в направлении стрелки.

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

I_R3 = A

4.Метод узловых потенциаловСложная

Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет V_A = 17,5 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника I_s (направление как на схеме).

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 ΩV_A = 17,5 V

I_s = A

5.Метод контурных токовСредняя

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение V_R2 на R₂ с указанной полярностью.

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

V_R2 = V

6.Метод контурных токовСложная

Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток I_R1 через R₁ в направлении стрелки.

V₁ = 15 VV₂ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 Ω

I_R1 = A

7.Метод наложенияСредняя

Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения V_s и один источник тока I_s. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при V_s = 8 V и I_s = 1 mA I = 9,9 mA; при V_s = 10 V и I_s = 4 mA I = 13,2 mA. Найдите ток нагрузки I при V_s = 5 V и I_s = 4 mA.

8 V, 1 mA → 9,9 mA10 V, 4 mA → 13,2 mAV_s = 5 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.Метод наложенияСложная

Линейная резистивная цепь содержит три независимых источника: V₁, V₂ и I_s. Ток I через нагрузку измерен три раза. При номинальных значениях всех источников I = 25,5 mA. Если V₁ удвоить, а два других оставить без изменений, I = 34,5 mA. Если изменить направление I_s на противоположное, а два других оставить без изменений, I = 8,5 mA. Найдите ток нагрузки I, если V₂ отключён, а V₁ и I_s имеют номинальные значения.

номинальные значения: I = 25,5 mA2·V₁: I = 34,5 mA−I_s: I = 8,5 mA

I = mA

9.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 12 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

11.Схемы на операционных усилителяхСредняя

ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение V_out.

V_in = −1,6 VR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.Схемы на операционных усилителяхСложная

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток I_f через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V₁ = −1,6 VV₂ = 0,2 VR₁ = 47 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

W = mJ

14.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 300 ms.

V_s = 5 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 Vt = 300 ms

v_C = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 14,86 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω

R_eq = R₁ + 6,857 = 8 + 6,857 = 14,86 Ω

Ответ

R_eq = 14,86 Ω

2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,474 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 13,84 Ω

R₃ + 13,84 = 38,84 Ω

R₂ ∥ 38,84 = 4,43 Ω

R_eq = R₁ + 4,43 = 20 + 4,43 = 24,43 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/24,43 = 1,474 A

Ответ

I_R1 = 1,474 A

3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I_R3 = −1,756 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V₁ = 9 V). Неизвестные: V_A, V_B.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 9)/8 + (V_A − V_B)/8 = 0

0,75·V_A − 0,125·V_B = 1,125

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/8 = 3

−0,125·V_A + 0,1917·V_B = 3

Решите

Δ = (0,75)(0,1917) − (−0,125)(−0,125) = 0,1281

V_A = Δ₁/Δ = 0,5906/0,1281 = 4,61 V

V_B = Δ₂/Δ = 2,391/0,1281 = 18,66 V

Ответ

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (4,61 − 18,66)/8 = −1,756 A

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: I_s = 5,729 A

ЗТК в узле A

V_A известно, поэтому это уравнение даёт V_B.

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(17,5 − 18)/6 + 17,5/6 = (V_B − 17,5)/2

2,833 = (V_B − 17,5)/2 → V_B = 23,17 V

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (23,17 − 17,5)/2 + 23,17/8 = 5,729 A

Ответ

I_s = 5,729 A

5.Метод контурных токов

Ответ: V_R2 = −0,8108 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

10·I₁ − 6·I₂ = 18

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−12)

−6·I₁ + 11·I₂ = −12

Решите

Δ = (10)(11) − (−6)(−6) = 74

I₁ = Δ₁/Δ = 126/74 = 1,703 A

I₂ = Δ₂/Δ = −12/74 = −0,1622 A

Ответ

I_R2 = I₂ = −0,1622 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −0,1622·5 = −0,8108 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I_R1 = 3,732 A

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I₁, I₂, I₃. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 15

4·I₁ − 2·I₂ = 15

ЗНК для контура 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 22·I₂ − 5·I₃ = 0

ЗНК для контура 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

6·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−18)

−5·I₂ + 11·I₃ = −18

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 824

I₁ = Δ₁/Δ = 3075/824 = 3,732 A

I₂ = Δ₂/Δ = −30/824 = −0,03641 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1362/824 = −1,653 A

Ответ

I_R1 = I₁ = 3,732 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: I = 7,2 mA

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

Записываем отклик как сумму вкладов

Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 1·k₂ = 9,9

10·k₁ + 4·k₂ = 13,2

Находим константы

Δ = (8)(4) − (1)(10) = 22

k₁ = Δ₁/Δ = 26,4/22 = 1,2

k₂ = Δ₂/Δ = 6,6/22 = 0,3

k₁ = 1,2 mA/V, k₂ = 0,3

Предсказываем новый ток

I = 1,2·5 + 0,3·4 = 7,2 mA

Ответ

I = 7,2 mA

8.Метод наложения

Ответ: I = 17,5 mA

Записываем измерения через вклады

Каждый вклад пропорционален своему источнику.

I₁ + I₂ + I₃ = 25,5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 34,5

I₁ + I₂ − I₃ = 8,5

Находим вклады

I₁ = 34,5 − 25,5 = 9 mA

I₃ = (25,5 − 8,5)/2 = 8,5 mA

I₂ = 25,5 − 9 − 8,5 = 8 mA

Отключаем V₂

I = I₁ + I₃ = 9 + 8,5 = 17,5 mA

Ответ

I = 17,5 mA

9.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 18,33 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 15 = 18,33 Ω

10.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = −2,4 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 10 = 13 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + (−5)·3 = −10 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −10 + (−5)·10 = −60 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −60/(13 + 12) = −2,4 A

11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V_out = −5,018 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Инвертирующий вход повторяет вход

V₋ = V₊ = −1,6 V

I = V₋/R₁ = −1,6/22 = −0,07273 mA

Выходное напряжение

Ток через R₁ течёт и через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −1,6 + (−0,07273)·47 = −5,018 V

Ответ

V_out = −5,018 V

12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: I_f = −0,03204 mA

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I₁ = V₁/R₁ = −1,6/47 = −0,03404 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,2/100 = 0,002 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,03204 mA

Ответ

I_f = −0,03204 mA

13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 1,236 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,4545·(1 − e^−1/1,424) = 0,2293 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·47·0,2293² = 1,236 mJ

Ответ

W = 1,236 mJ

14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 8,324 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 5 + (18 − 5)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(300) = 5 + (13)·e^−300/220 = 8,324 V

Ответ

v_C = 8,324 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Метод

Метод узловых потенциалов

Метод

Метод контурных токов

Метод

Метод наложения

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

Схемы на операционных усилителях

Переходные процессы RC и RL

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ответ

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Ток источника

Ответ

Определите узлы

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Решите

Ответ

ЗТК в узле A

ЗТК в узле B

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

Решите

Ответ

Задайте контурные токи

ЗНК для контура 1

ЗНК для контура 2

ЗНК для контура 3

Решите

Ответ

Записываем отклик как сумму вкладов

Находим константы

Предсказываем новый ток

Ответ

Записываем измерения через вклады

Находим вклады

Отключаем V₂

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Инвертирующий вход повторяет вход

Выходное напряжение

Ответ

Входные токи

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Запасённая энергия

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение в заданный момент

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода