Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​6 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​12 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩIR3​+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBIs​2 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR3 через R3 в направлении стрелки.

V1 = 12 VIs = 2 AR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
IR3 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 6 Ω+−V1​30 VR3​3 ΩAR5​12 ΩBIs​6 A−+V2​15 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VA (относительно земли).

V1 = 30 VIs = 6 AV2 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 ΩR5 = 12 Ω
VA = V
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 4 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​10 VR3​20 ΩA+−V2​9 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I1 (по часовой стрелке).

V1 = 10 VV2 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 Ω
I1 = A
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 8 ΩR2​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR4​15 ΩAR5​3 Ω+−VR5​B+−V2​12 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR5 на R5 с указанной полярностью.

V1 = 24 VV2 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 ΩR5 = 3 Ω
VR5 = V
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBIs​2 A

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 15 VIs = 2 AR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩIR2​R4​ = 2 Ω+−V1​36 VR3​3 ΩAIs​1 AB−+V2​24 V

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 36 VIs = 1 AV2 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​3 ABab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 5 VIs = 3 AR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = −2,1 VR1​ = 47 kΩV2​ = 1,1 VR3​ = 47 kΩR4​ = 10 kΩ

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R3 = R1 и R4 = R2. Найдите выходное напряжение Vout.

V1 = −2,1 VV2 = 1,1 VR1 = R3 = 47 kΩR2 = R4 = 10 kΩ
Vout = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 0,6 VR1​ = 2 kΩV2​ = 1,1 VR2​ = 4,7 kΩIf​

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток If через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V1 = 0,6 VV2 = 1,1 VR1 = 2 kΩR2 = 4,7 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
R = 100 Ωt = 0L68 mHi(t)

Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,6 A? Найдите t.

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 68 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​24 Vразмыкается при t = 0R1​ = 2,2 kΩR2​ = 1 kΩC220 µF+−vC​

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.

Vs = 24 VR1 = 2,2 kΩR2 = 1 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,8621 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​6 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 6·9/(6+9) = 3,6 Ω
Req = R1 + 3,6 = 8 + 3,6 = 11,6 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/11,6 = 0,8621 A

Ответ

IR1 = 0,8621 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 16,28 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​12 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 9,231 Ω
R3 + 9,231 = 29,23 Ω
R2 ∥ 29,23 = 6,281 Ω
Req = R1 + 6,281 = 10 + 6,281 = 16,28 Ω

Ответ

Req = 16,28 Ω
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR3 = −0,6977 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBIs​2 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 12)/8 + (VA − VB)/10 = 0
0,275·VA − 0,1·VB = 1,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/10 = 2
−0,1·VA + 0,1667·VB = 2

Решите

Δ = (0,275)(0,1667) − (−0,1)(−0,1) = 0,03583
VA = Δ1/Δ = 0,45/0,03583 = 12,56 V
VB = Δ2/Δ = 0,7/0,03583 = 19,53 V

Ответ

IR3 = (VA − VB)/R3 = (12,56 − 19,53)/10 = −0,6977 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 9,077 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 6 Ω+−V1​30 VR3​3 ΩAR5​12 ΩBIs​6 A−+V2​15 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 30 V, V2 = −15 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/3 + (VA − 30)/8 + (VA − VB)/8 = 0
0,5833·VA − 0,125·VB = 3,75

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/12 + (VB − VA)/8 + (VB − (−15))/6 = 6
−0,125·VA + 0,375·VB = 3,5

Решите

Δ = (0,5833)(0,375) − (−0,125)(−0,125) = 0,2031
VA = Δ1/Δ = 1,844/0,2031 = 9,077 V
VB = Δ2/Δ = 2,51/0,2031 = 12,36 V

Ответ

VA = 9,077 V
5.Метод контурных токов

Ответ: I1 = 0,3929 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 4 ΩR2​ = 20 Ω+−V1​10 VR3​20 ΩA+−V2​9 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 20(I1 − I2) = 10
24·I1 − 20·I2 = 10

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
20·I2 + 20(I2 − I1) = (−9)
−20·I1 + 40·I2 = −9

Решите

Δ = (24)(40) − (−20)(−20) = 560
I1 = Δ1/Δ = 220/560 = 0,3929 A
I2 = Δ2/Δ = −16/560 = −0,02857 A

Ответ

I1 = 0,3929 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: VR5 = 6,653 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 8 ΩR2​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR4​15 ΩAR5​3 ΩB+−V2​12 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 15(I1 − I2) = 24
23·I1 − 15·I2 = 24

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
5·I2 + 15(I2 − I1) + 3(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 23·I2 − 3·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
4·I3 + 3(I3 − I2) = (−12)
−3·I2 + 7·I3 = −12

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 1921
I1 = Δ1/Δ = 3108/1921 = 1,618 A
I2 = Δ2/Δ = 1692/1921 = 0,8808 A
I3 = Δ3/Δ = −2568/1921 = −1,337 A

Ответ

IR5 = I2 − I3 = 2,218 A
VR5 = IR5·R5 = 2,218·3 = 6,653 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: IR1 = 1,333 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 12+3 = 15 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω
VA = 15·2,5/(8+2,5) = 3,571 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 3,571·3/15 = 0,7143 V
IR1′ = (V1 − VA)/R1 = (15 − 3,571)/8 = 1,429 A
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​3 ΩAR4​3 ΩBIs​2 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 14,18 = 2,476 Ω
VB = Is·Req = 2·2,476 = 4,952 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 4,952·2,182/14,18 = 0,7619 V
IR1″ = (V1 − VA)/R1 = (0 − 0,7619)/8 = −0,09524 A

Сложите составляющие

IR1 = IR1′ + IR1″
IR1 = 1,429 + (−0,09524) = 1,333 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

8.Метод наложения

Ответ: IR2 = −2,581 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 2 Ω+−V1​36 VR3​3 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 3 ∥ 14 = 2,471 Ω
VA = 36·2,471/(3+2,471) = 16,26 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 16,26·2/14 = 2,323 V
IR2′ = (VB − VA)/R2 = (2,323 − 16,26)/12 = −1,161 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 2 ΩКЗR3​3 ΩAIs​1 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 1,5 Ω, поэтому левый путь — R2+1,5 = 13,5 Ω
Req = R4 ∥ 13,5 = 1,742 Ω
VB = Is·Req = 1·1,742 = 1,742 V
VA = VB·1,5/13,5 = 0,1935 V
IR2″ = (VB − VA)/R2 = (1,742 − 0,1935)/12 = 0,129 A
R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 2 ΩКЗR3​3 ΩAОБРЫВB−+V2​24 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−24)·13,5/15,5 = −20,9 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −20,9·1,5/13,5 = −2,323 V
IR2‴ = (VB − VA)/R2 = (−20,9 − −2,323)/12 = −1,548 A

Сложите составляющие

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = (−1,161) + 0,129 + (−1,548) = −2,581 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: Rth = 6,077 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​5 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,077 + 3 = 6,077 Ω
10.Тевенин и Нортон

Ответ: Vth = 18,43 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​12 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + 3·1,714 = 9,429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,429 + 3·3 = 18,43 V
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Vout = 0,6809 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,1·10/(47 + 10) = 0,193 V
V₋ = V₊

ЗТК на инвертирующем входе

(−2,1 − 0,193)/47 = (0,193 − Vout)/10
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (10/47)·(1,1 − (−2,1)) = 0,6809 V

Ответ

Vout = 0,6809 V
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: If = 0,534 mA

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I1 = V1/R1 = 0,6/2 = 0,3 mA
I2 = V2/R2 = 1,1/4,7 = 0,234 mA
If = I1 + I2 = 0,534 mA

Ответ

If = 0,534 mA
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,094 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms

Выразите время

0,6 = 3·e−t/τ → t = τ·ln(3/0,6)
t = 0,68·ln(5) = 1,094 ms

Ответ

t = 1,094 ms
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 1,217 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

vC(0) = 24·1/(2,2 + 1) = 7,5 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R2·C = 1·220 = 220 ms

Разряд

vC(t) = 7,5·e−400/220 = 1,217 V

Ответ

vC = 1,217 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1