Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения Vs и один источник тока Is. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при Vs = 4 V и Is = 8 mA I = 1,6 mA; при Vs = 6 V и Is = 1 mA I = 1,3 mA. Найдите ток нагрузки I при Vs = 15 V и Is = 4 mA.
4 V, 8 mA → 1,6 mA6 V, 1 mA → 1,3 mAVs = 15 V, Is = 4 mA
I = mA
8.Метод наложенияСложная
Найдите значение источника напряжения V2 (полярность как на схеме), при котором ток IR3 через R3 равен нулю.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 5 ms.
Vs = 15 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms
vL = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 100 ms.
Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 33 µFt = 100 ms
i2 = mA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,5751 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5,867 Ω
Req = R1 + 5,867 = 15 + 5,867 = 20,87 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 12/20,87 = 0,5751 A
Ответ
IR1 = 0,5751 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,6238 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 30 + 4 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 2,757 Ω
R3 + 2,757 = 12,76 Ω
R2 ∥ 12,76 = 2,429 Ω
Req = R1 + 2,429 = 12 + 2,429 = 14,43 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/14,43 = 0,6238 A
Ответ
IR1 = 0,6238 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = 5,625 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 30)/15 + (VA − 6)/2 + (VA − 30)/2 = 0
Находим VA
VA = (30/15 + 6/2 + 30/2) / (1/15 + 1/2 + 1/2) = 20/1,067 = 18,75 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (30 − VA)/R3 = (30 − 18,75)/2 = 5,625 A
Ответ
I3 = 5,625 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 0,6857 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 12 V, V2 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 12)/2 + (VA − VB)/20 = 0
0,8·VA − 0,05·VB = 6
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/6 + (VB − VA)/20 + (VB − 15)/3 = (−5)
−0,05·VA + 0,55·VB = 0
Решите
Δ = (0,8)(0,55) − (−0,05)(−0,05) = 0,4375
VA = Δ1/Δ = 3,3/0,4375 = 7,543 V
VB = Δ2/Δ = 0,3/0,4375 = 0,6857 V
Ответ
VB = 0,6857 V
5.Метод контурных токов
Ответ: I1 = 0,9643 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
12·I1 + 5(I1 − I2) = 18
17·I1 − 5·I2 = 18
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
8·I2 + 5(I2 − I1) = (−9)
−5·I1 + 13·I2 = −9
Решите
Δ = (17)(13) − (−5)(−5) = 196
I1 = Δ1/Δ = 189/196 = 0,9643 A
I2 = Δ2/Δ = −63/196 = −0,3214 A
Ответ
I1 = 0,9643 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: I3 = −0,3186 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
12·I1 + 6(I1 − I2) = 10
18·I1 − 6·I2 = 10
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
4·I2 + 6(I2 − I1) + 2(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 12·I2 − 2·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
12·I3 + 2(I3 − I2) = (−5)
−2·I2 + 14·I3 = −5
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 2448
I1 = Δ1/Δ = 1580/2448 = 0,6454 A
I2 = Δ2/Δ = 660/2448 = 0,2696 A
I3 = Δ3/Δ = −780/2448 = −0,3186 A
Ответ
I3 = −0,3186 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: I = 3,4 mA
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Записываем отклик как сумму вкладов
Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.
I = k₁·Vs + k₂·Is
4·k₁ + 8·k₂ = 1,6
6·k₁ + 1·k₂ = 1,3
Находим константы
Δ = (4)(1) − (8)(6) = −44
k₁ = Δ1/Δ = −8,8/−44 = 0,2
k₂ = Δ2/Δ = −4,4/−44 = 0,1
k₁ = 0,2 mA/V, k₂ = 0,1
Предсказываем новый ток
I = 0,2·15 + 0,1·4 = 3,4 mA
Ответ
I = 3,4 mA
8.Метод наложения
Ответ: V2 = 10,08 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 12 ∥ 8 = 4,8 Ω
VA = 6·4,8/(25+4,8) = 0,9664 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 0,9664·4/8 = 0,4832 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 8,108 Ω, поэтому левый путь — R2+8,108 = 12,11 Ω
Req = R4 ∥ 12,11 = 3,007 Ω
VB = −Is·Req = −3·3,007 = −9,02 V
VA = VB·8,108/12,11 = −6,04 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 8,108 Ω
VA‴ = V2·8,108/(4 + 4 + 8,108) = 0,5034·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 5 = 11,67 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·12/(15+12) = 10,67 V
10.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 332,5 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 30 = 31,71 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 20,57 + 6·1,714 = 30,86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30,86 + 6·30 = 210,9 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 210,9/(31,71 + 20) = 4,077 A
PL = IL²·RL = 4,077²·20 = 332,5 W
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 14 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (8 − 1)·2 = 14 kΩ
Ответ
Rf = 14 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −0,298 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входные токи
V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.
I1 = V1/R1 = 0,4/10 = 0,04 mA
I2 = V2/R2 = 1,1/47 = 0,0234 mA
If = I1 + I2 = 0,0634 mA
Выходное напряжение
Vout = −Rf·If = −4,7·0,0634 = −0,298 V
Ответ
Vout = −0,298 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 1,325 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms
i(∞) = Vs/R = 15/33 = 0,4545 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−5/2,061 = 1,325 V
Ответ
vL = 1,325 V
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i2 = 0,3101 mA
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.