Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Запишите z = 2,5∠140° в алгебраической форме a + jb и укажите действительную часть a.

r = 2,5θ = 140°

a =

2.Комплексные числаСложная

Используйте формулу Муавра, чтобы найти действительную часть z⁵ для z = 1 + j√3.

z = 1 + j√3n = 5

Re(z⁵) =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

I = A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 150 ΩC = 4,7 µF

I = A

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 39 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 39 kWpf = 0,8V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Источник 12 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Z_s = 20 + j15 Ω. Полное сопротивление нагрузки Z_L можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность P_max, которую можно передать нагрузке.

V_s = 12 V (rms)f = 50 HzZ_s = 20 + j15 Ω

P_max = W

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Параллельный RLC-контур имеет R = 1 kΩ, L = 4,7 mH и C = 470 nF. Найдите его добротность Q.

R = 1 kΩL = 4,7 mHC = 470 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Последовательный RLC-контур (R = 10 Ω, L = 100 µH, C = 10 nF) питается на резонансе при амплитуде тока 10 mA. Найдите энергию E_cycle, рассеиваемую в R за один период, в nJ.

R = 10 ΩL = 100 µHC = 10 nFI_m = 10 mA

E_cycle = nJ

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 24 + j7 Ω на фазу

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µFt = 200 ms

v_C = V

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9 V, ровно через 100 ms после старта. При R = 1 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 12 VV_th = 9 VT = 100 msR = 1 kΩ

C = µF

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

14.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 6 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите фазу ∠G(jω) функции G(s) = 43(s + 13)/(s(s + 10)) при ω = 30 rad/s в градусах.

G(s) = 43(s + 13)/(s(s + 10))ω = 30 rad/s

∠G(jω) = °

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 12,8/(s(s + 8)). Найдите запас по фазе PM в градусах.

L(s) = 12,8/(s(s + 8))

PM = °

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: a = −1,915

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Составляющие

a = 2,5·cos(140°) = −1,915

b = 2,5·sin(140°) = 1,607

Алгебраическая форма

z = −1,915 + j1,607

a = −1,915

Ответ

a = −1,915

2.Комплексные числа

Ответ: Re(z⁵) = 16

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Полярная форма

z = 1 + j√3 = 2∠60°

Муавр

z⁵ = (2)⁵∠300° = 32∠−60°

Алгебраическая форма

z⁵ = 32·(cos −60° + j sin −60°) = 16 − j27,71

Re(z⁵) = 16

Ответ

Re(z⁵) = 16

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,008825 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2,2·10⁻⁶) = 1206 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−1130)²) = 1133 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/1133 = 0,008825 A

Ответ

I = 0,008825 A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,06525 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·60·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 140,1 − j37,24 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 40 + 140,1 − j37,24 = 180,1 − j37,24 Ω

|Z| = √(180,1² + 37,24²) = 183,9 Ω

Ток

I = V/|Z| = 12/183,9 = 0,06525 A

Ответ

I = 0,06525 A

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 29,25 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 39·0,75 = 29,25 kvar

Ответ

Q = 29,25 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P_max = 1,8 W

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

Z_L = Z_s* = 20 − j15 Ω

Наибольшая мощность

I = V_s/(2R_s) = 12/40 = 0,3 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·20) = 1,8 W

Ответ

P_max = 1,8 W

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: Q = 10

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Резонансная частота

ω₀ = 1/√(LC) = 21277 rad/s

Добротность

Q = R/(ω₀L) = 1000/(21277·0,0047) = 10

Ответ

Q = 10

Полоса пропускания равна 1/(2πRC) = 338,6 Hz.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: E_cycle = 3,142 nJ

Запасённая энергия

W = ½·1 × 10⁻⁴·0,01² = 5 × 10⁻⁹ J

Добротность

Q = (1/10)·√(1 × 10⁻⁴/1 × 10⁻⁸) = 10

Энергия, теряемая за период

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·5 × 10⁻⁹/10 = 3,142 × 10⁻⁹ J = 3,142 nJ

проверка: ½·0,01²·10/159155 = 3,142 × 10⁻⁹ J

Ответ

E_cycle = 3,142 nJ

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 6,144 kW

Фазное напряжение

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазный ток

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·24 = 6,144 kW

Ответ

P = 6,144 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 503,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 36,47 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12158/(314,2·277,1²) = 503,9 µF

Ответ

C_ph = 503,9 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 2,737 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ

v_C(∞) = 24·4,7/(6,8 + 4,7) = 9,809 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 2,779·220 = 611,4 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 9,809·(1 − e^−200/611,4) = 2,737 V

Ответ

v_C = 2,737 V

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 72,13 µF

Требуемая постоянная времени

9 = 12·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(12/(12 − 9))

τ = 100/1,386 = 72,13 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 72,13/1 = 72,13 µF

Ответ

C = 72,13 µF

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,3462 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 10 = 18,57 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·15/(20+15) = 6,429 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 6,429/18,57 = 0,3462 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 1,429 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 2 = 3,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,5 + 1·1,5 = 3 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 3 + 1·2 = 5 V

Эквивалент Нортона

I_N = V_th/R_th = 5/3,5 = 1,429 A

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ∠G(jω) = −94,99 °

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Сложите углы

∠G = atan(30/13) − 90° − atan(30/10) = 66,57° − 90° − 71,57°

Результат

∠G(j30) = −94,99°

Ответ

∠G(jω) = −94,99°

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: PM = 78,9 °

Частота среза усиления

ω⁴ + 64ω² − 163,8 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·163,8))/2 = 2,465

ω_c = 1,57 rad/s

Запас по фазе

∠L(jω_c) = −90° − atan(1,57/8) = −101,1°

PM = 180° + ∠L = 78,9°

Ответ

PM = 78,9°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Составляющие

Алгебраическая форма

Ответ

Полярная форма

Муавр

Алгебраическая форма

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Ответ

Реактивное сопротивление

Параллельное соединение

Полное сопротивление цепи

Ток

Ответ

Угол

Реактивная мощность

Ответ

Сопряжённое согласование

Наибольшая мощность

Ответ

Резонансная частота

Добротность

Ответ

Запасённая энергия

Добротность

Энергия, теряемая за период

Ответ

Фазное напряжение

Фазный ток

Полная активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Постоянная времени

Кривая заряда

Ответ

Требуемая постоянная времени

Ёмкость

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Сложите углы

Результат

Ответ

Частота среза усиления

Запас по фазе

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода