Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

На диаграмме показано z = 3 − j2. При w = 2∠−90° нажмите на точку, представляющую z·w.

z = 3 − j2w = 2∠−90°

1A (4 + j6)
2B (6 − j4)
3C (−2 − j3)
4D (−4 − j6)

2.Комплексные числаСложная

Один корень уравнения z³ + 11z² + 55z + 125 = 0 равен z₁ = −3 + j4. Коэффициенты действительны. Найдите действительный корень r.

z₁ = −3 + j4

r =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩC = 47 µF

I = A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

I = A

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 13 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) и нагреватель мощностью 4 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 240 VP₁ = 13 kW, pf₁ = 0,75 отстающийP₂ = 4 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите реактивную мощность Q_C, которую должен поставлять конденсатор.

P = 50 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Параллельный RLC-контур имеет R = 22 kΩ, L = 100 µH и C = 1 nF. Найдите его добротность Q.

R = 22 kΩL = 100 µHC = 1 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Спроектируйте последовательный RLC-фильтр с полным сопротивлением 50 Ω, резонансной частотой 100 kHz и полосой пропускания 5 kHz. Найдите ёмкость C в nF.

R = 50 Ωf₀ = 100 kHzBW = 5 kHz

C = nF

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 10 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,7 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VI_L = 10 Acos φ = 0,7

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

V_s = 20 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 1 kΩC = 100 µF

τ = ms

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 500 ms.

V_s = 6 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 5 Vt = 500 ms

v_C = V

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 15 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 36 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите точный модуль |G(jω)| функции G(s) = 637/((s + 7)(s + 13)) при ω = 2 rad/s в dB.

G(s) = 637/((s + 7)(s + 13))ω = 2 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 90/(s(s + 4)(s + 5)). Найдите частоту перехода фазы ω₁₈₀, где ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 90/(s(s + 4)(s + 5))

ω₁₈₀ = rad/s

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: D (−4 − j6)

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Действие w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

Точка

z·w = −4 − j6 → D

Ответ

D (−4 − j6)

2.Комплексные числа

Ответ: r = −5

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Сопряжённая пара

z₂ = −3 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 4²) = z² + 6z + 25

Выделите квадратный множитель

z³ + 11z² + 55z + 125 = (z² + 6z + 25)(z + 5)

Действительный корень

r = −5

Ответ

r = −5

Проверьте по сумме корней: z₁ + z₂ + r = −6 + (−5) = −11 = −(11).

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 7,171 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 230/100 = 2,3 A

I_X = V/X_C = 230/33,86 = 6,792 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,3² + 6,792²) = 7,171 A

Ответ

I = 7,171 A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,04896 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (241,8)²) = 245,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/245,1 = 0,04896 A

Ответ

I = 0,04896 A

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,8291

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 13·tan(arccos 0,75) = 11,46 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 13 + 4 = 17 kW

Q = 11,46 + 0 = 11,46 kvar

S = √(17² + 11,46²) = 20,5 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 17/20,5 = 0,8291 отстающий

Ответ

cos φ = 0,8291

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q_C = 16,2 kvar

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(36,87°) = 37,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,2 kvar

Ответ

Q_C = 16,2 kvar

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: Q = 69,57

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Резонансная частота

ω₀ = 1/√(LC) = 3,162 × 10⁶ rad/s

Добротность

Q = R/(ω₀L) = 22000/(3,162 × 10⁶·1 × 10⁻⁴) = 69,57

Ответ

Q = 69,57

Полоса пропускания равна 1/(2πRC) = 7,234 kHz.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: C = 1,592 nF

Индуктивность по полосе пропускания

L = R/(2π·BW) = 50/(2π·5000) = 0,001592 H

Ёмкость по резонансной частоте

C = 1/((2π·100000)²·0,001592) = 1,592 × 10⁻⁹ F = 1,592 nF

Ответ

C = 1,592 nF

Q = f₀/BW = 20.

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 2,522 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·208·10 = 3,603 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 3,603·0,7 = 2,522 kW

Ответ

P = 2,522 kW

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 367,4 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,88 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 6627/(314,2·239,6²) = 367,4 µF

Ответ

C_ph = 367,4 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 76,74 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·1/(3,3 + 1) = 0,7674 kΩ

v_C(∞) = 20·1/(3,3 + 1) = 4,651 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,7674·100 = 76,74 ms

Ответ

τ = 76,74 ms

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 5,791 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 6 + (5 − 6)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(500) = 6 + (−1)·e^−500/319,6 = 5,791 V

Ответ

v_C = 5,791 V

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,4762 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 8 = 10,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·15/(3+15) = 5 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 5/10,5 = 0,4762 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 49,75 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 25 = 26,76 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,235 + (−3)·1,765 = −1,059 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −1,059 + (−3)·25 = −76,06 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −76,06/(26,76 + 15) = −1,821 A

P_L = I_L²·R_L = −1,821²·15 = 49,75 W

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: |G(jω)| = 16,46 dB

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Перемножьте модули

|G(j2)| = 637/(√(2² + 7²)·√(2² + 13²)) = 637/(7,28·13,15) = 6,652

Результат

20·log₁₀(6,652) = 16,46 dB

Ответ

|G(jω)| = 16,46 dB

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ω₁₈₀ = 4,472 rad/s

Частота перехода фазы

(ω/4)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·5) = 4,472 rad/s

Ответ

ω₁₈₀ = 4,472 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Действие w

Точка

Ответ

Сопряжённая пара

Выделите квадратный множитель

Действительный корень

Ответ

Реактивное сопротивление

Токи ветвей

Общий ток

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Ответ

Реактивная мощность каждой нагрузки

Суммы

Общий коэффициент мощности

Ответ

Реактивная мощность до и после

Ответ

Резонансная частота

Добротность

Ответ

Индуктивность по полосе пропускания

Ёмкость по резонансной частоте

Ответ

Полная мощность

Активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Постоянная времени

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение в заданный момент

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Перемножьте модули

Результат

Ответ

Частота перехода фазы

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода