Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Запишите z = 2,5∠−130° в алгебраической форме a + jb и укажите действительную часть a.

r = 2,5θ = −130°

a =

2.Комплексные числаСложная

Один корень уравнения z³ + 5z² + 24z + 20 = 0 равен z₁ = −2 + j4. Коэффициенты действительны. Найдите действительный корень r.

z₁ = −2 + j4

r =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 1 µF

I = A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 9 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 9 kWpf = 0,65V = 240 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 25 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 100 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 25 kWpf₁ = 0,6V = 400 Vf = 60 HzC = 100 µF

cos φ =

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Конденсатор 22 nF, заряженный до 9 V, колеблется с идеальной катушкой 220 µH. Найдите энергию W_L, запасённую в катушке в момент, когда напряжение на конденсаторе равно 6,75 V, в nJ.

C = 22 nFV₀ = 9 Vv_C = 6,75 V

W_L = nJ

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Параллельный колебательный контур состоит из конденсатора 2,2 nF и катушки 4,7 mH с сопротивлением обмотки 10 Ω. При резонансе он ведёт себя как резистор с динамическим сопротивлением R_D = L/(C·r). Найдите R_D в kΩ.

L = 4,7 mHC = 2,2 nFr = 10 Ω

R_D = kΩ

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 15 + j20 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 208 VZ = 15 + j20 Ω на фазу

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,1 A? Найдите t.

i(0) = 0,5 AR = 15 ΩL = 10 mH

t = ms

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,6 A? Найдите t.

V_s = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

14.Тевенин и НортонСложная

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 9 VI_s = 2 AR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите фазу ∠G(jω) функции G(s) = 27(s + 14)/(s(s + 1)) при ω = 2 rad/s в градусах.

G(s) = 27(s + 14)/(s(s + 1))ω = 2 rad/s

∠G(jω) = °

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 28/(s(s + 4)). Найдите частоту среза усиления ω_c, где |L(jω)| = 1.

L(s) = 28/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: a = −1,607

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Составляющие

a = 2,5·cos(−130°) = −1,607

b = 2,5·sin(−130°) = −1,915

Алгебраическая форма

z = −1,607 − j1,915

a = −1,607

Ответ

a = −1,607

2.Комплексные числа

Ответ: r = −1

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Сопряжённая пара

z₂ = −2 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 4²) = z² + 4z + 20

Выделите квадратный множитель

z³ + 5z² + 24z + 20 = (z² + 4z + 20)(z + 1)

Действительный корень

r = −1

Ответ

r = −1

Проверьте по сумме корней: z₁ + z₂ + r = −4 + (−1) = −5 = −(5).

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,0316 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1579)²) = 1582 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/1582 = 0,0316 A

Ответ

I = 0,0316 A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 38,07 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (21,9)²) = 45,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/45,6 = 0,5263 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,5263·72,34 = 38,07 V

Ответ

V_C = 38,07 V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 10,52 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 9·1,169 = 10,52 kvar

Ответ

Q = 10,52 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,6753

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 25·tan(arccos 0,6) = 33,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·100·10⁻⁶ = 6032 var = 6,032 kvar

Q₂ = 33,33 − 6,032 = 27,3 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(25² + 27,3²) = 37,02 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S₂ = 25/37,02 = 0,6753

Ответ

cos φ = 0,6753

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: W_L = 389,8 nJ

LC-резонанс: заряженный конденсатор, подключённый к катушке индуктивности, создаёт ток, который заряжает его в обратную сторону: энергия переходит между электрическим полем C (½Cv²) и магнитным полем L (½Li²) на собственной частоте f₀ = 1/(2π√(LC)). Без сопротивления полная энергия ½CV₀² остаётся постоянной, поэтому пиковый ток равен I_max = V₀√(C/L). Один период равен T = 1/f₀; энергия переходит из C в L за его четверть.

Полная энергия

½·2,2 × 10⁻⁸·9² = 8,91 × 10⁻⁷ J

Энергия, оставшаяся в конденсаторе

½·2,2 × 10⁻⁸·6,75² = 5,012 × 10⁻⁷ J

Энергия в катушке

W_L = 3,898 × 10⁻⁷ J = 389,8 nJ

Ответ

W_L = 389,8 nJ

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: R_D = 213,6 kΩ

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Динамическое сопротивление

R_D = 0,0047/(2,2 × 10⁻⁹·10) = 213636 Ω = 213,6 kΩ

Проверка через Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 146,2, Q²·r = 213636 Ω

Ответ

R_D = 213,6 kΩ

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 3,115 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 208 V

Фазный ток

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 208/25 = 8,32 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·8,32²·15 = 3,115 kW

Ответ

P = 3,115 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 710,1 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46103/(377·415²) = 710,1 µF

Ответ

C_ph = 710,1 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,073 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

Выразите время

0,1 = 0,5·e^−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,1)

t = 0,6667·ln(5) = 1,073 ms

Ответ

t = 1,073 ms

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 2,31 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 12/15 = 0,8 A

i(∞) = 12/(15 + 15) = 0,4 A

τ = L/R = 100/30 = 3,333 ms

i(t) = 0,4 + (0,8 − 0,4)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,6 − 0,4)/(0,8 − 0,4) = 0,5

t = 3,333·ln(2) = 2,31 ms

Ответ

t = 2,31 ms

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 1,452 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,875 + 2 = 3,875 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·5/(3+5) = 5,625 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 5,625/3,875 = 1,452 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 21,42 V

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 4 = 7,158 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,105 + 2·3,158 = 13,42 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13,42 + 2·4 = 21,42 V

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ∠G(jω) = −145,3 °

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Сложите углы

∠G = atan(2/14) − 90° − atan(2/1) = 8,13° − 90° − 63,43°

Результат

∠G(j2) = −145,3°

Ответ

∠G(jω) = −145,3°

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ω_c = 4,596 rad/s

Частота среза усиления

ω⁴ + 16ω² − 784 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·784))/2 = 21,12

ω_c = 4,596 rad/s

Ответ

ω_c = 4,596 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Составляющие

Алгебраическая форма

Ответ

Сопряжённая пара

Выделите квадратный множитель

Действительный корень

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Напряжение на конденсаторе

Ответ

Угол

Реактивная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Новая полная мощность

Новый коэффициент мощности

Ответ

Полная энергия

Энергия, оставшаяся в конденсаторе

Энергия в катушке

Ответ

Динамическое сопротивление

Проверка через Q

Ответ

Фазное напряжение

Фазный ток

Полная активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени

Выразите время

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Сложите углы

Результат

Ответ

Частота среза усиления

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода