Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Найдите аргумент θ числа z = −2 + j5 в градусах как главное значение между −180° и 180°.

z = −2 + j5

θ = °

2.Комплексные числаСложная

Ровно одна из точек A–D является корнем уравнения z⁴ = 16∠−90°. Нажмите на неё.

w = 16∠−90°n = 4

1A (2∠−67,5°)
2B (1∠67,5°)
3C (2∠112,5°)
4D (2∠67,5°)

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF

φ = °

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 3 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите ток линии I.

P = 3 kWpf = 0,65V = 230 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии I_new.

P = 5 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур имеет R = 22 Ω, L = 10 mH и C = 10 nF. Найдите его добротность Q.

R = 22 ΩL = 10 mHC = 10 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Заряженный конденсатор 47 nF разряжается через катушку 1 mH с полным последовательным сопротивлением 20 Ω, поэтому колебания медленно затухают. Амплитуда убывает как e^−Rt/(2L). Сколько периодов колебаний n пройдёт, прежде чем амплитуда уменьшится вдвое? (Потери малы, поэтому частота равна f₀.)

L = 1 mHC = 47 nFR = 20 Ω

n =

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 75 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,7 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 690 VI_L = 75 Acos φ = 0,7

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 20 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 200 ms

v_C = V

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите напряжение Тевенина V_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 20 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Изображённый RC-фильтр верхних частот имеет R = 2,2 kΩ, C = 22 nF. На вход подаётся синусоидальный сигнал 1,6 kHz. Найдите коэффициент усиления |H| = |v_out/v_in| в dB.

R = 2,2 kΩC = 22 nFf = 1,6 kHz

|H| = dB

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 192/(s(s + 8)). Найдите запас по фазе PM в градусах.

L(s) = 192/(s(s + 8))

PM = °

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: θ = 111,8 °

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Четверть

a = −2, b = 5 → II

Опорный угол

α = atan(5/2) = 68,2°

Аргумент

θ = 180° − α = 111,8°

Ответ

θ = 111,8°

В полярной форме z = 5,385∠111,8°.

2.Комплексные числа

Ответ: D (2∠67,5°)

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Модуль и аргументы корней

|z| = 2

θ = −22,5°, 67,5°, 157,5°, −112,5°

Точка

D = 2∠67,5°

Ответ

D (2∠67,5°)

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −83,3 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−127,7)²) = 128,6 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−127,7/15) = −83,3°

Ответ

φ = −83,3°

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 68,61 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,4 − j5,432 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 50 + 18,4 − j5,432 = 68,4 − j5,432 Ω

|Z| = √(68,4² + 5,432²) = 68,61 Ω

Ответ

|Z| = 68,61 Ω

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 20,07 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 3000/(230·0,65) = 20,07 A

Ответ

I = 20,07 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I_new = 13,16 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(36,87°) = 3,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(18,19°) = 1,643 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2,107 kvar

Новый ток линии

I_new = P/(V·cos φ₂) = 5000/(400·0,95) = 13,16 A

Ответ

I_new = 13,16 A

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: Q = 45,45

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Характеристическое сопротивление

√(L/C) = √(0,01/1 × 10⁻⁸) = 1000 Ω

Добротность

Q = 1000/22 = 45,45

Ответ

Q = 45,45

Резонансная частота равна 15,92 kHz, поэтому BW = f₀/Q = 350,1 Hz.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: n = 1,609

Время уменьшения амплитуды вдвое

t = 2·0,001·ln 2/20 = 6,931 × 10⁻⁵ s

Число периодов

n = t·f₀ = 6,931 × 10⁻⁵·23215 = 1,609

Ответ

n = 1,609

Короткий путь: n = Q·ln 2/π при Q = 7,293.

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 62,74 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·690·75 = 89,63 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 89,63·0,7 = 62,74 kW

Ответ

P = 62,74 kW

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 256,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46103/(377·690²) = 256,9 µF

Ответ

C_ph = 256,9 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 5,518 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/1 = 5,518 V

Ответ

v_L = 5,518 V

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 10,14 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 20·10/(4,7 + 10) = 13,61 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Разряд

v_C(t) = 13,61·e^−200/680 = 10,14 V

Ответ

v_C = 10,14 V

13.Тевенин и Нортон

Ответ: V_th = 4,8 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 6 = 8,4 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·3/(12+3) = 4,8 V

14.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 1,129 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 20 = 24,29 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,429 + 2·4,286 = 10 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10 + 2·20 = 50 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 50/(24,29 + 20) = 1,129 A

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: |H| = −7,18 dB

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Частота среза

ω_c = 1/(RC) = 1/(2200·2,2 × 10⁻⁸) = 20661 rad/s

f_c = 3288 Hz → f/f_c = 1600/3288 = 0,4866

Коэффициент усиления

|H| = 0,4866/√(1 + 0,4866²) = 0,4375

20·log₁₀(0,4375) = −7,18 dB

Ответ

|H| = −7,18 dB

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: PM = 32,1 °

Частота среза усиления

ω⁴ + 64ω² − 36864 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·36864))/2 = 162,6

ω_c = 12,75 rad/s

Запас по фазе

∠L(jω_c) = −90° − atan(12,75/8) = −147,9°

PM = 180° + ∠L = 32,1°

Ответ

PM = 32,1°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Четверть

Опорный угол

Аргумент

Ответ

Модуль и аргументы корней

Точка

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Угол сдвига фаз

Ответ

Реактивное сопротивление

Параллельное соединение

Полное сопротивление цепи

Ответ

Ток линии

Ответ

Реактивная мощность до и после

Новый ток линии

Ответ

Характеристическое сопротивление

Добротность

Ответ

Время уменьшения амплитуды вдвое

Число периодов

Ответ

Полная мощность

Активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Напряжение на катушке

Ответ

Начальное напряжение конденсатора

Постоянная времени после размыкания ключа

Разряд

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Частота среза

Коэффициент усиления

Ответ

Частота среза усиления

Запас по фазе

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода