Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Запишите z = 10∠−130° в алгебраической форме a + jb и укажите действительную часть a.

r = 10θ = −130°

a =

2.Комплексные числаСложная

Найдите действительную часть (−2 + j3)⁵.

z = −2 + j3n = 5

Re(z⁵) =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 47 µF

φ = °

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 5 mH и C = 2,2 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

Q =

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 15 kWpf = 0,85V = 230 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 5 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур резонирует на частоте 1 kHz при Q = 3. Найдите нижнюю частоту половинной мощности f₁ точно, в Hz.

f₀ = 1 kHzQ = 3

f₁ = Hz

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Последовательный RLC-контур (R = 1 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF) питается на резонансе при амплитуде тока 20 mA. Найдите энергию E_cycle, рассеиваемую в R за один период, в nJ.

R = 1 ΩL = 10 mHC = 1 µFI_m = 20 mA

E_cycle = nJ

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 16 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 16 + j12 Ω на фазу

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 5 ms.

i(0) = 1 AR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_R = V

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 19,6 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

14.Тевенин и НортонСложная

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите фазу ∠G(jω) функции G(s) = 5(s + 19)/(s(s + 4)) при ω = 0,5 rad/s в градусах.

G(s) = 5(s + 19)/(s(s + 4))ω = 0,5 rad/s

∠G(jω) = °

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 195/(s(s + 10)). Найдите частоту среза усиления ω_c, где |L(jω)| = 1.

L(s) = 195/(s(s + 10))

ω_c = rad/s

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: a = −6,428

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Составляющие

a = 10·cos(−130°) = −6,428

b = 10·sin(−130°) = −7,66

Алгебраическая форма

z = −6,428 − j7,66

a = −6,428

Ответ

a = −6,428

2.Комплексные числа

Ответ: Re(z⁵) = −122

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Степени по шагам

z² = (−2 + j3)(−2 + j3) = −5 − j12

z³ = (−5 − j12)(−2 + j3) = 46 + j9

z⁴ = (46 + j9)(−2 + j3) = −119 + j120

z⁵ = (−119 + j120)(−2 + j3) = −122 − j597

Проверка по формуле Муавра

z = 3,606∠123,7° → z⁵ = 609,3∠−101,5°

Re(z⁵) = −122

Ответ

Re(z⁵) = −122

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −49,75 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 12/80 = 0,15 A

I_X = V/X_C = 12/67,73 = 0,1772 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,15² + 0,1772²) = 0,2322 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,1772/0,15) = −49,75°

Ответ

φ = −49,75°

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 9,535

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·2,2·10⁻⁶)) = 1517 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,005/(2,2·10⁻⁶)) = 9,535

Ответ

Q = 9,535

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 9,296 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 15·0,6197 = 9,296 kvar

Ответ

Q = 9,296 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 151,1 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(36,87°) = 3,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(11,48°) = 1,015 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2,735 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 2735/(2π·50·240²) = 151,1 µF

Ответ

C = 151,1 µF

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: f₁ = 847,1 Hz

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Член с квадратным корнем

√(1 + 1/(4·3²)) = 1,014

Нижняя частота половинной мощности

f₁ = 1000·(1,014 − 0,1667) = 847,1 Hz = 847,1 Hz

Ответ

f₁ = 847,1 Hz

Верхняя равна f₂ = 1,18 kHz; проверка: f₂ − f₁ = 333,3 Hz = f₀/Q.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: E_cycle = 125,7 nJ

Запасённая энергия

W = ½·0,01·0,02² = 2 × 10⁻⁶ J

Добротность

Q = (1/1)·√(0,01/1 × 10⁻⁶) = 100

Энергия, теряемая за период

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2 × 10⁻⁶/100 = 1,257 × 10⁻⁷ J = 125,7 nJ

проверка: ½·0,02²·1/1592 = 1,257 × 10⁻⁷ J

Ответ

E_cycle = 125,7 nJ

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 6,4 kW

Фазное напряжение

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазный ток

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 230,9/20 = 11,55 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·11,55²·16 = 6,4 kW

Ответ

P = 6,4 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 212,3 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 55,32 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18441/(377·480²) = 212,3 µF

Ответ

C_ph = 212,3 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 9,444 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

Убывание тока

i(t) = 1·e^−5/3 = 0,1889 A

v_R = R·i = 50·0,1889 = 9,444 V

Ответ

v_R = 9,444 V

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 249,6 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

19,6 = 20 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19,6 − 20)/(18 − 20) = 0,2

t = τ·ln((18 − 20)/(19,6 − 20)) = 155,1·ln(5) = 249,6 ms

Ответ

t = 249,6 ms

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,9375 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 20 = 22,86 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·10/(4+10) = 21,43 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 21,43/22,86 = 0,9375 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 5,3 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 12 + 8 = 20 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 5·12 = 66 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 66 + 5·8 = 106 V

Эквивалент Нортона

I_N = V_th/R_th = 106/20 = 5,3 A

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ∠G(jω) = −95,62 °

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Сложите углы

∠G = atan(0,5/19) − 90° − atan(0,5/4) = 1,507° − 90° − 7,125°

Результат

∠G(j0,5) = −95,62°

Ответ

∠G(jω) = −95,62°

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ω_c = 12,3 rad/s

Частота среза усиления

ω⁴ + 100ω² − 38025 = 0

ω² = (−100 + √(10000 + 4·38025))/2 = 151,3

ω_c = 12,3 rad/s

Ответ

ω_c = 12,3 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Составляющие

Алгебраическая форма

Ответ

Степени по шагам

Проверка по формуле Муавра

Ответ

Реактивное сопротивление

Токи ветвей

Общий ток

Угол сдвига фаз

Ответ

Резонансная частота

Добротность

Ответ

Угол

Реактивная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Ёмкость

Ответ

Член с квадратным корнем

Нижняя частота половинной мощности

Ответ

Запасённая энергия

Добротность

Энергия, теряемая за период

Ответ

Фазное напряжение

Фазный ток

Полная активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени

Убывание тока

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Сложите углы

Результат

Ответ

Частота среза усиления

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода