Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Запишите z = 9 − j2 в показательной форме r·e^jθ. Укажите θ в радианах, между −π и π.

z = 9 − j2

θ = rad

2.Комплексные числаСложная

Корни уравнения zⁿ = w при n = 3 и w = 8∠120° равны z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Найдите мнимую часть z₁.

w = 8∠120°n = 3k = 1

Im(z₁) =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

I = A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 80 ΩC = 4,7 µF

I = A

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 31 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 31 kWpf = 0,6V = 400 V

Q = kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 69 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 69 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур резонирует на частоте 2 kHz при Q = 4. Найдите нижнюю частоту половинной мощности f₁ точно, в kHz.

f₀ = 2 kHzQ = 4

f₁ = kHz

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Последовательный RLC-контур (R = 2 Ω, L = 4,7 mH, C = 22 nF) питается на резонансе при амплитуде тока 200 mA. Найдите энергию E_cycle, рассеиваемую в R за один период, в µJ.

R = 2 ΩL = 4,7 mHC = 22 nFI_m = 200 mA

E_cycle = µJ

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 37 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 37 kWη = 92%cos φ = 0,82V_L = 400 V

I_L = A

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 25 ms, в mJ.

V_s = 24 VR = 5 ΩL = 47 mHt = 25 ms

W = mJ

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,426 A? Найдите t.

V_s = 24 VR₁ = 47 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mH

t = ms

13.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 2 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 30 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 15 VI_s = 2,5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Изображённый RC-фильтр верхних частот имеет R = 3,3 kΩ, C = 4,7 nF. На вход подаётся синусоидальный сигнал 2,6 kHz. Найдите фазовый сдвиг φ напряжения v_out относительно v_in в градусах.

R = 3,3 kΩC = 4,7 nFf = 2,6 kHz

φ = °

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 14/(s(s + 2)). Найдите частоту среза усиления ω_c, где |L(jω)| = 1.

L(s) = 14/(s(s + 2))

ω_c = rad/s

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: θ = −0,2187 rad

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Модуль

r = √(81 + 4) = 9,22

Аргумент в радианах

θ = −12,53° = −12,53·π/180 = −0,2187 rad

Показательная форма

z = 9,22·e^−j0,2187

Ответ

θ = −0,2187 rad

2.Комплексные числа

Ответ: Im(z₁) = 0,684

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Модуль корней

8^1/3 = 2

Аргумент корня

θ₁ = (120° + 360°·1)/3 = 160°

Алгебраическая форма

z₁ = 2·(cos 160° + j sin 160°) = −1,879 + j0,684

Im(z₁) = 0,684

Ответ

Im(z₁) = 0,684

3 корней лежат на окружности радиуса 2 с угловым шагом 120°.

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,09423 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (241,8)²) = 254,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/254,7 = 0,09423 A

Ответ

I = 0,09423 A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,4092 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,4 − j39,45 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 10 + 33,4 − j39,45 = 43,4 − j39,45 Ω

|Z| = √(43,4² + 39,45²) = 58,65 Ω

Ток

I = V/|Z| = 24/58,65 = 0,4092 A

Ответ

I = 0,4092 A

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 41,33 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 31·1,333 = 41,33 kvar

Ответ

Q = 41,33 kvar

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 121,5 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 69·tan(arccos 0,75) = 60,85 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 60,85²) = 190,5 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 190,5 − 69 = 121,5 kW

Ответ

ΔP = 121,5 kW

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: f₁ = 1,766 kHz

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Член с квадратным корнем

√(1 + 1/(4·4²)) = 1,008

Нижняя частота половинной мощности

f₁ = 2000·(1,008 − 0,125) = 1766 Hz = 1,766 kHz

Ответ

f₁ = 1,766 kHz

Верхняя равна f₂ = 2,266 kHz; проверка: f₂ − f₁ = 500 Hz = f₀/Q.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: E_cycle = 2,556 µJ

Запасённая энергия

W = ½·0,0047·0,2² = 9,4 × 10⁻⁵ J

Добротность

Q = (1/2)·√(0,0047/2,2 × 10⁻⁸) = 231,1

Энергия, теряемая за период

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·9,4 × 10⁻⁵/231,1 = 2,556 × 10⁻⁶ J = 2,556 µJ

проверка: ½·0,2²·2/15652 = 2,556 × 10⁻⁶ J

Ответ

E_cycle = 2,556 µJ

9.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 70,79 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 37/0,92 = 40,22 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 40217/(√3·400·0,82) = 70,79 A

Ответ

I_L = 70,79 A

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 96,32 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,7) = 75·1,02 = 76,52 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,95) = 75·0,3287 = 24,65 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 51,86 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 17288/(377·690²) = 96,32 µF

Ответ

C_ph = 96,32 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 468,3 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9,4 ms

i(∞) = V_s/R = 24/5 = 4,8 A

Ток в заданный момент

i(t) = 4,8·(1 − e^−25/9,4) = 4,464 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·47·4,464² = 468,3 mJ

Ответ

W = 468,3 mJ

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,9635 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 24/47 = 0,5106 A

i(∞) = 24/(47 + 33) = 0,3 A

τ = L/R = 150/80 = 1,875 ms

i(t) = 0,3 + (0,5106 − 0,3)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,426 − 0,3)/(0,5106 − 0,3) = 0,5982

t = 1,875·ln(1,672) = 0,9635 ms

Ответ

t = 0,9635 ms

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,4 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·2/(4+2) = 1,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,333 + 5 = 6,333 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·2/(4+2) = 3,333 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,333/(6,333 + 2) = 0,4 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 18,4 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 30·10/(30+10) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 4 = 11,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,75 + 2,5·7,5 = 22,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22,5 + 2,5·4 = 32,5 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 32,5/(11,5 + 30) = 0,7831 A

P_L = I_L²·R_L = 0,7831²·30 = 18,4 W

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: φ = 75,78 °

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Частота среза

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·4,7 × 10⁻⁹) = 64475 rad/s

f_c = 10261 Hz → f/f_c = 2600/10261 = 0,2534

Фаза

φ = 90° − atan(0,2534) = 75,78°

Ответ

φ = 75,78°

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ω_c = 3,485 rad/s

Частота среза усиления

ω⁴ + 4ω² − 196 = 0

ω² = (−4 + √(16 + 4·196))/2 = 12,14

ω_c = 3,485 rad/s

Ответ

ω_c = 3,485 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Модуль

Аргумент в радианах

Показательная форма

Ответ

Модуль корней

Аргумент корня

Алгебраическая форма

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Ответ

Реактивное сопротивление

Параллельное соединение

Полное сопротивление цепи

Ток

Ответ

Угол

Реактивная мощность

Ответ

Реактивная мощность существующей нагрузки

Наибольшая суммарная активная мощность

Дополнительная активная мощность

Ответ

Член с квадратным корнем

Нижняя частота половинной мощности

Ответ

Запасённая энергия

Добротность

Энергия, теряемая за период

Ответ

Потребляемая электрическая мощность

Ток линии

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Запасённая энергия

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Частота среза

Фаза

Ответ

Частота среза усиления

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода