Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Даны z₁ = 5∠−60° и z₂ = 1,5∠110°. Найдите аргумент θ числа w = z₁/z₂ в градусах, между −180° и 180°.

z₁ = 5∠−60°z₂ = 1,5∠110°

θ = °

2.Комплексные числаСложная

Один корень уравнения z³ − z² − 12z + 90 = 0 равен z₁ = 3 + j3. Коэффициенты действительны. Найдите действительный корень r.

z₁ = 3 + j3

r =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 47 µF

I = A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

V_C = V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 1 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите ток линии I.

P = 1 kWpf = 0,65V = 230 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 150 µF. Найдите новый ток линии I.

P = 5 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 150 µF

I = A

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур имеет R = 100 Ω, L = 10 mH и C = 470 pF. Найдите его полосу пропускания BW в kHz.

R = 100 ΩL = 10 mHC = 470 pF

BW = kHz

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Последовательный RLC-контур (R = 5 Ω, L = 22 µH, C = 10 nF) питается на резонансе при амплитуде тока 500 mA. Найдите энергию E_cycle, рассеиваемую в R за один период, в µJ.

R = 5 ΩL = 22 µHC = 10 nFI_m = 500 mA

E_cycle = µJ

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 75 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,92 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VI_L = 75 Acos φ = 0,92

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 50 ms.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 3 Vt = 50 ms

v_C = V

13.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 20 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 30 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 30 Ω

I_L = A

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите точный модуль |G(jω)| функции G(s) = 2565/((s + 9)(s + 15)) при ω = 15 rad/s в dB.

G(s) = 2565/((s + 9)(s + 15))ω = 15 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10)). Найдите коэффициент усиления K, который даёт запас по усилению 5 dB.

L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10))GM = 5 dB

K =

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: θ = −170 °

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Модуль и аргумент w

|w| = 5 / 1,5 = 3,333

θ = −60° − 110° = −170°

Аргумент

θ = −170°

Ответ

θ = −170°

2.Комплексные числа

Ответ: r = −5

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Сопряжённая пара

z₂ = 3 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 3²) = z² − 6z + 18

Выделите квадратный множитель

z³ − z² − 12z + 90 = (z² − 6z + 18)(z + 5)

Действительный корень

r = −5

Ответ

r = −5

Проверьте по сумме корней: z₁ + z₂ + r = 6 + (−5) = 1 = −(−1).

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,06812 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (171,6)²) = 176,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/176,2 = 0,06812 A

Ответ

I = 0,06812 A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 57,52 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−489)²) = 490,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/490,6 = 0,1019 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,1019·564,4 = 57,52 V

Ответ

V_C = 57,52 V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 6,689 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 1000/(230·0,65) = 6,689 A

Ответ

I = 6,689 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 26,17 A

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = 5·tan(arccos 0,65) = 5,846 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·150·10⁻⁶ = 2493 var = 2,493 kvar

Q₂ = 5,846 − 2,493 = 3,353 kvar

Новая полная мощность

S₂ = √(5² + 3,353²) = 6,02 kVA

Новый ток линии

I = S₂/V = 6020/230 = 26,17 A

Ответ

I = 26,17 A

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: BW = 1,592 kHz

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Полоса пропускания в rad/s

R/L = 100/0,01 = 10000 rad/s

Полоса пропускания в Hz

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1,592 kHz

Ответ

BW = 1,592 kHz

При f₀ = 73,41 kHz получаем Q = 46,13.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: E_cycle = 1,842 µJ

Запасённая энергия

W = ½·2,2 × 10⁻⁵·0,5² = 2,75 × 10⁻⁶ J

Добротность

Q = (1/5)·√(2,2 × 10⁻⁵/1 × 10⁻⁸) = 9,381

Энергия, теряемая за период

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2,75 × 10⁻⁶/9,381 = 1,842 × 10⁻⁶ J = 1,842 µJ

проверка: ½·0,5²·5/339319 = 1,842 × 10⁻⁶ J

Ответ

E_cycle = 1,842 µJ

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 47,8 kW

Полная мощность

S = √3·V_L·I_L = √3·400·75 = 51,96 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 51,96·0,92 = 47,8 kW

Ответ

P = 47,8 kW

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 358,1 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25,92 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8640/(314,2·277,1²) = 358,1 µF

Ответ

C_ph = 358,1 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 0,5001 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,3191·(1 − e^−1/0,2128) = 0,3162 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·10·0,3162² = 0,5001 mJ

Ответ

W = 0,5001 mJ

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 5,754 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 10 + (3 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(50) = 10 + (−7)·e^−50/100 = 5,754 V

Ответ

v_C = 5,754 V

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,09231 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 5 = 12,5 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·15/(15+15) = 3 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3/(12,5 + 20) = 0,09231 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,6565 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 20 = 22,4 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 1·2,4 = 14,4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14,4 + 1·20 = 34,4 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 34,4/(22,4 + 30) = 0,6565 A

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: |G(jω)| = 16,79 dB

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Перемножьте модули

|G(j15)| = 2565/(√(15² + 9²)·√(15² + 15²)) = 2565/(17,49·21,21) = 6,912

Результат

20·log₁₀(6,912) = 16,79 dB

Ответ

|G(jω)| = 16,79 dB

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: K = 809,8

Частота перехода фазы

(ω/8)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(8·10) = 8,944 rad/s

Модуль на частоте перехода фазы

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 100)) = K/(8·10·(8 + 10)) = K/1440

Требуемое усиление

1440/K = 10^5/20 = 1,778

K = 1440/1,778 = 809,8

Ответ

K = 809,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Модуль и аргумент w

Аргумент

Ответ

Сопряжённая пара

Выделите квадратный множитель

Действительный корень

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Напряжение на конденсаторе

Ответ

Ток линии

Ответ

Реактивная мощность до и после

Новая полная мощность

Новый ток линии

Ответ

Полоса пропускания в rad/s

Полоса пропускания в Hz

Ответ

Запасённая энергия

Добротность

Энергия, теряемая за период

Ответ

Полная мощность

Активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Запасённая энергия

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение в заданный момент

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Перемножьте модули

Результат

Ответ

Частота перехода фазы

Модуль на частоте перехода фазы

Требуемое усиление

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода