Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Найдите аргумент θ числа z = −8 − j3 в градусах как главное значение между −180° и 180°.

z = −8 − j3

θ = °

2.Комплексные числаСложная

Один корень уравнения z³ − z² + 2 = 0 равен z₁ = 1 + j. Коэффициенты действительны. Найдите действительный корень r.

z₁ = 1 + j

r =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩC = 4,7 µF

φ = °

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

Однофазный двигатель потребляет 29 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите ток линии I.

P = 29 kWpf = 0,75V = 400 V

I = A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 15 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 1 mH и C = 2,2 nF. Найдите его добротность Q.

R = 10 ΩL = 1 mHC = 2,2 nF

Q =

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Последовательный RLC-контур (R = 10 Ω, L = 4,7 mH, C = 47 nF) питается на резонансе при амплитуде тока 10 mA. Найдите энергию E_cycle, рассеиваемую в R за один период, в nJ.

R = 10 ΩL = 4,7 mHC = 47 nFI_m = 10 mA

E_cycle = nJ

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 7 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

V_L = 400 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность Q_C, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 120 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 11,1 V? Найдите t.

V_s = 15 VR = 3,3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите ток Нортона I_N: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 4 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 15 VI_s = 0,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите точный модуль |G(jω)| функции G(s) = 980/((s + 7)(s + 14)) при ω = 20 rad/s в dB.

G(s) = 980/((s + 7)(s + 14))ω = 20 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 22/(s(s + 2)(s + 7)). Найдите запас по усилению GM в dB.

L(s) = 22/(s(s + 2)(s + 7))

GM = dB

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: θ = −159,4 °

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Четверть

a = −8, b = −3 → III

Опорный угол

α = atan(3/8) = 20,56°

Аргумент

θ = −(180° − α) = −159,4°

Ответ

θ = −159,4°

В полярной форме z = 8,544∠−159,4°.

2.Комплексные числа

Ответ: r = −1

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Сопряжённая пара

z₂ = 1 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 1²) = z² − 2z + 2

Выделите квадратный множитель

z³ − z² + 2 = (z² − 2z + 2)(z + 1)

Действительный корень

r = −1

Ответ

r = −1

Проверьте по сумме корней: z₁ + z₂ + r = 2 + (−1) = 1 = −(−1).

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −41,54 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 12/60 = 0,2 A

I_X = V/X_C = 12/67,73 = 0,1772 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,2² + 0,1772²) = 0,2672 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,1772/0,2) = −41,54°

Ответ

φ = −41,54°

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 35,33 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (21,9)²) = 102,4 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/102,4 = 0,4884 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,4884·72,34 = 35,33 V

Ответ

V_C = 35,33 V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 96,67 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 29000/(400·0,75) = 96,67 A

Ответ

I = 96,67 A

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 499,3 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(41,41°) = 13,23 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8,298 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 8298/(2π·50·230²) = 499,3 µF

Ответ

C = 499,3 µF

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: Q = 67,42

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Характеристическое сопротивление

√(L/C) = √(0,001/2,2 × 10⁻⁹) = 674,2 Ω

Добротность

Q = 674,2/10 = 67,42

Ответ

Q = 67,42

Резонансная частота равна 107,3 kHz, поэтому BW = f₀/Q = 1,592 kHz.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: E_cycle = 46,69 nJ

Запасённая энергия

W = ½·0,0047·0,01² = 2,35 × 10⁻⁷ J

Добротность

Q = (1/10)·√(0,0047/4,7 × 10⁻⁸) = 31,62

Энергия, теряемая за период

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2,35 × 10⁻⁷/31,62 = 4,669 × 10⁻⁸ J = 46,69 nJ

проверка: ½·0,01²·10/10708 = 4,669 × 10⁻⁸ J

Ответ

E_cycle = 46,69 nJ

9.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 5,376 kW

Фазное напряжение

V_ph = V_L = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·7 = 5,376 kW

Ответ

P = 5,376 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,28, и √3·V_L·I_L·cos φ даёт ту же мощность.

10.Трёхфазная мощность

Ответ: Q_C = 71,3 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,7) = 120·1,02 = 122,4 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 71,3 kvar

Ответ

Q_C = 71,3 kvar

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,09179 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1·(1 − e^−5/2) = 0,09179 A

Ответ

i = 0,09179 A

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 87,41 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 15 + (2 − 15)·e^−t/τ

Выразите время

11,1 = 15 + (−13)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11,1 − 15)/(2 − 15) = 0,3

t = τ·ln((2 − 15)/(11,1 − 15)) = 72,6·ln(3,333) = 87,41 ms

Ответ

t = 87,41 ms

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_N = 0,1714 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·5/(20+5) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 10 = 14 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·5/(20+5) = 2,4 V

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

I_N = V_th/R_th = 2,4/14 = 0,1714 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = −0,2186 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 25 = 33,57 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,571 + (−0,5)·8,571 = 4,286 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 4,286 + (−0,5)·25 = −8,214 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −8,214/(33,57 + 4) = −0,2186 A

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: |G(jω)| = 5,55 dB

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Перемножьте модули

|G(j20)| = 980/(√(20² + 7²)·√(20² + 14²)) = 980/(21,19·24,41) = 1,894

Результат

20·log₁₀(1,894) = 5,55 dB

Ответ

|G(jω)| = 5,55 dB

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: GM = 15,16 dB

Частота перехода фазы

(ω/2)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·7) = 3,742 rad/s

Модуль на частоте перехода фазы

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 49)) = K/(2·7·(2 + 7)) = K/126

Запас по усилению

GM = 20·log₁₀(126/22) = 15,16 dB

Ответ

GM = 15,16 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Четверть

Опорный угол

Аргумент

Ответ

Сопряжённая пара

Выделите квадратный множитель

Действительный корень

Ответ

Реактивное сопротивление

Токи ветвей

Общий ток

Угол сдвига фаз

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Напряжение на конденсаторе

Ответ

Ток линии

Ответ

Реактивная мощность до и после

Ёмкость

Ответ

Характеристическое сопротивление

Добротность

Ответ

Запасённая энергия

Добротность

Энергия, теряемая за период

Ответ

Фазное напряжение

Фазный ток

Полная активная мощность

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Ответ

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Выразите время

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Эквивалент Нортона

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Перемножьте модули

Результат

Ответ

Частота перехода фазы

Модуль на частоте перехода фазы

Запас по усилению

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода