В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 17,5 % годовых с полугодовой капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.
r = 17,5%m = 2
EAR = %
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 7 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?
P = €25 0003% / 12N = 84
I = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €50 000 сегодня, служит 6 лет, а его эксплуатация обходится в €2 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 6 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €50 000M = €2 000n = 6r = 6%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €20 000 и приносит €9 500, €14 500 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 14 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 7% и погашается через 14 лет. Её доходность к погашению меняется с 5,5% до 4%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 7%n = 14y1 = 5,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €1 075 при доходности к погашению 5% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 4,9 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 50 базисных пунктов.
P0 = €1 075y = 5%D = 4,9Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 28%. Найдите WACC.
E = €4 000 000D = €4 000 000re = 8%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 2 000 000 акций, торгующихся по €58,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €58 500 000. Она только что выплатила дивиденд €0,90 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €35 100 000, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Товар продаётся по €36 за единицу при переменных затратах €30 на единицу. Постоянные затраты — €15 000 в месяц. Сколько единиц Q нужно продавать в месяц, чтобы получить прибыль €6 000?
F = €15 000p = €36v = €30прибыль = €6 000
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Компания продаёт два изделия. Изделие A продаётся по €16 при переменных затратах €8; изделие B — по €25 при переменных затратах €15. Они продаются в постоянной пропорции: 3 единиц A на каждые 2 единиц B. Постоянные затраты — €44 000 в месяц. Найдите общее число единиц Q (A и B вместе), необходимое для безубыточности.
pA = €16, vA = €8pB = €25, vB = €15A : B = 3 : 2F = €44 000
Q = ед.
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: EAR = 18,27 %
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка за период
r/m = 0,175/2 = 0,0875
Наращение за один год
EAR = (1 + 0,0875)2 − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%
Ответ
EAR = 18,27%
Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.
2.Временная стоимость денег
Ответ: I = 2748 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ежемесячный платёж
i = 0,0025, N = 84
A = 25 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−84) = €330,33
Всего процентов
I = N·A − P = 84·330,3 − 25 000 = €2 747,93
Ответ
I = €2 747,93
3.NPV и IRR
Ответ: EAC = 12168 €
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,06−6)/0,06 = 4,917
Цена покупки в пересчёте на год
50 000/4,917 = 10 168,13
EAC
EAC = 10 168,13 + 2 000 = €12 168,13
Ответ
EAC = €12 168,13
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 12,15 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(10%) = 619,83
NPV(15%) = −775,05
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 10 + 5·619,83/(619,83 − (−775,05)) = 12,22%
точно: NPV(12,15%) = 0 → IRR = 12,15%
Ответ
IRR = 12,15%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = 173 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 4,9/1,05 = 4,667
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −4,667·(0,005) = −2,333%
P ≈ 1075·(1 − 0,02333) = €1 049,92
Ответ
P = €1 049,92
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,16 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 6,16%
Ответ
WACC = 6,16%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,954 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Безубыточность при ассортименте продаж: если изделия продаются в постоянной пропорции, используйте средневзвешенный маржинальный доход: взвесьте p − v каждого изделия по его доле в количестве единиц. Число единиц безубыточности = F/(средневзвешенный маржинальный доход), затем снова разделите в пропорции ассортимента.