В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Вы инвестируете €12 000 под номинальную ставку 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 5 лет.
PV = €12 0004% / 4n = 5
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €250 0007,2% / 12N = 240
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €30 000 сегодня, служит 8 лет, а его эксплуатация обходится в €2 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 5 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.
C0 = €30 000M = €2 000n = 8r = 5%
EAC = €
4.NPV и IRRСложная
Проект A стоит €10 000 и приносит €6 000, €4 000, €2 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €12 000 и приносит €3 000, €5 500, €6 500. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 6 лет. Её доходность к погашению меняется с 3% до 1,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 4%n = 6y1 = 3%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация торгуется по €1 070 при доходности к погашению 7% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 7,4 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 50 базисных пунктов.
P0 = €1 070y = 7%D = 7,4Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 12%, стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
У компании 4 000 000 акций, торгующихся по €43,00; балансовая стоимость её собственного капитала — €51 600 000. Она только что выплатила дивиденд €1,40 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €137 600 000, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Товар продаётся по €22 за единицу при переменных затратах €18 на единицу. Постоянные затраты — €20 000 в месяц. Сколько единиц Q нужно продавать в месяц, чтобы получить прибыль €2 000?
F = €20 000p = €22v = €18прибыль = €2 000
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Компания продаёт 3 000 единиц в месяц по €16 за каждую при переменных затратах €4 на единицу и постоянных затратах €14 400 в месяц. Переменные затраты растут на €4 на единицу, а цена остаётся прежней. Сколько единиц Q теперь нужно продавать в месяц, чтобы сохранить ту же прибыль?
Q = 3 000p = €16v = €4 → €8F = €14 400
Q = ед.
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 14642 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·20 = 240
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,2379
A = 250 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 968,37
Ответ
A = €1 968,37
3.NPV и IRR
Ответ: EAC = 6642 €
Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.
Коэффициент аннуитета
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Цена покупки в пересчёте на год
30 000/6,463 = 4 641,65
EAC
EAC = 4 641,65 + 2 000 = €6 641,65
Ответ
EAC = €6 641,65
4.NPV и IRR
Ответ: r* = 8,841 %
Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.
Разность денежных потоков
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 6 000 = −3 000
ΔCF2 = 5 500 − 4 000 = 1 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
IRR разности
NPVΔ(8%) = 80,48
NPVΔ(9%) = −14,95
r* = 8,841%
Ответ
r* = 8,841%
Проверка: при 8,841% обе NPV равны €440,38.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = 88,26 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифицированная дюрация
Dmod = 7,4/1,07 = 6,916
Оценка изменения цены
%ΔP ≈ −6,916·(0,005) = −3,458%
P ≈ 1070·(1 − 0,03458) = €1 033,00
Ответ
P = €1 033,00
Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 10,75 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·12% + 0,1667·6%·(1 − 0,25) = 10,75%
Ответ
WACC = 10,75%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 6,257 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).