В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.
1Формулы и методы
Временная стоимость денег
Будущая стоимость
FV = PV·(1 + i)n
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)n
Несколько периодов в год
i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Аннуитет, будущая стоимость
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.
NPV и IRR
Чистая приведённая стоимость
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Равные денежные потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутренняя норма доходности
r, при которой NPV = 0
Решение
принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)
Метод
Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CFt/(1 + r)t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.
Цена и доходность облигаций
Цена облигации
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Полугодовые купоны
C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность
C/P
Цена и доходность
доходность растёт → цена падает
Метод
Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.
CAPM и WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Стоимость компании
V = E + D
Анализ безубыточности
Маржинальный доход
CM = p − v
Объём безубыточности
QBE = FC/(p − v)
Целевая прибыль
Q = (FC + profit)/(p − v)
Прибыль
π = (p − v)·Q − FC
Запас финансовой прочности
(Q − QBE)/Q
2Тренировочные задачи
1.Временная стоимость денегСредняя
Вы инвестируете €1 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 3 лет.
PV = €1 0004,8% / 4n = 3
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Через 6 лет вам нужно €10 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.
FV = €10 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €14 000, €9 000, €8 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект A стоит €30 000 и приносит €17 000, €11 500, €6 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €35 000 и приносит €9 500, €14 000, €18 000. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 6 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 3%n = 6
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 5 лет и продаётся за €935. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 5P = €935
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.
У компании 4 000 000 акций по €44,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 2,5%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 9%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Анализ безубыточностиСредняя
Изделие продаётся по €16, переменные затраты — €12 на единицу. Постоянные затраты — €20 000 в месяц, прибыль облагается налогом по ставке 25 %. Сколько единиц Q нужно продавать в месяц, чтобы получать €6 000 после уплаты налога?
p = €16v = €12F = €20 000T = 25%прибыль после налога = €6 000
Q = ед.
10.Анализ безубыточностиСложная
Товар продаётся по €53 за единицу, переменные затраты — €45 на единицу, постоянные — €16 000 в год. Плановые продажи — 3 600 ед. Найдите запас финансовой прочности MS в процентах от плановых продаж.
F = €16 000p = €53v = €45план = 3 600
MS = %
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 1154 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 14 000/1,06 = 13 207,55
CF2/(1 + 0,06)2 = 9 000/1,124 = 8 009,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 8 000/1,191 = 6 716,95
Сложите
NPV = €−2 065,53
Ответ
NPV = €−2 065,53
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: r* = 6,88 %
Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.
Разность денежных потоков
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 500 − 17 000 = −7 500
ΔCF2 = 14 000 − 11 500 = 2 500
ΔCF3 = 18 000 − 6 000 = 12 000
IRR разности
NPVΔ(6%) = 224,95
NPVΔ(7%) = −30,17
r* = 6,88%
Ответ
r* = 6,88%
Проверка: при 6,88% обе NPV равны €887,31.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1109 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €25,00, i = 0,015, N = 12
Приведённая стоимость купонов
€25,00·(1 − 0,8364)/0,015 = €272,69
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,8364 = €836,39
Цена
P = €1 109,08
Ответ
P = €1 109,08
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 4,48 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Численное решение
P(4%) = €955,48, P(5%) = €913,41
YTM = 4,48%
Ответ
YTM = 4,48%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,968 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).
Необходимая прибыль до налога
6 000/(1 − 0,25) = €8 000
Требуемое количество единиц
Q = (20 000 + 8 000)/4 = 7 000
Ответ
Q = 7 000 ед.
10.Анализ безубыточности
Ответ: MS = 44,44 %
Затраты–объём–прибыль: каждая проданная единица приносит маржинальный доход: цену минус переменные затраты на единицу. Прибыль = Q·(p − v) − F, где F — постоянные затраты. В точке безубыточности прибыль равна нулю, поэтому Q = F/(p − v).